A K. 216. feladat (2009. szeptember)

K. 216. Bizonyítsuk be, hogy egy tetszőleges háromszög súlyvonalának hossza kisebb az őt közrefogó háromszögoldalak számtani közepénél.

(6 pont)

A beküldési határidő 2009. október 12-én LEJÁRT.

Megoldás. Legyen F az AB szakasz felezőpontja, AC=b, BC=a, FC=s. Tükrözzük a háromszöget F-re. A kapott AC'BC négyszögben CFC' egyenesszög, CF súlyvonal képe FC', rehát ugyanolyan hosszú, ugyanígy AC' oldal hossza megegyezik BC-ével. Az AC'B háromszög oldalai a, b és 2s. A háromszög-egyenlőtlenség szerint a+b>2s, tehát \(\displaystyle \frac{a+b}{2}>s\), azaz a súlyvonal hossza kisebb, mint a közrefogó oldalak hosszának számtani közepe.

Statisztika:

198 dolgozat érkezett.
6 pontot kapott:	93 versenyző.
5 pontot kapott:	31 versenyző.
4 pontot kapott:	15 versenyző.
3 pontot kapott:	9 versenyző.
2 pontot kapott:	5 versenyző.
1 pontot kapott:	6 versenyző.
0 pontot kapott:	33 versenyző.
Nem versenyszerű:	6 dolgozat.

A KöMaL 2009. szeptemberi matematika feladatai