A K. 234. feladat (2009. december)

K. 234. Egy adott kerületű téglalap mindegyik oldalára kifelé négyzeteket rajzolunk. Hogyan válasszuk meg a téglalap oldalait, hogy az így kapott tizenkétszög területe minimális legyen?

(6 pont)

A beküldési határidő 2010. január 11-én LEJÁRT.

Megoldás. A téglalap oldalainak hossza legyen \(\displaystyle a\) és \(\displaystyle b\), a kerülete állandó: \(\displaystyle 2a+2b=2(a+b)\), tehát \(\displaystyle a+b=s\) is állandó, amiből pl. \(\displaystyle b=s-a\). A területek összege \(\displaystyle 2a^2 + 2(s-a)^2 + a(s-a)= 3a^2- 3sa +2s^2=3(a-\frac 12 s)^2 + \frac 54 s^2\). Ez az összeg egy nemnegatív és egy pozitív tagból áll, ami akkor lesz a legkisebb, ha a nemnegatív tag \(\displaystyle 0\), azaz \(\displaystyle (a-\frac 12 s)=0\). Tehát a tizenkétszög területe akkor lesz minimális, ha a téglalap oldalai \(\displaystyle a=b=\frac 12 s\), vagyis a téglalap egy adott kerületű négyzet.

Statisztika:

144 dolgozat érkezett.
6 pontot kapott:	62 versenyző.
5 pontot kapott:	4 versenyző.
4 pontot kapott:	9 versenyző.
3 pontot kapott:	2 versenyző.
2 pontot kapott:	14 versenyző.
0 pontot kapott:	44 versenyző.
Nem versenyszerű:	9 dolgozat.

A KöMaL 2009. decemberi matematika feladatai