A K. 253. feladat (2010. szeptember)

K. 253. Péter és Pál választott egy-egy százzal osztható számot. Mindketten a saját választott számukhoz hozzáadták a szám tizedét és a századát is. Ekkor Péter összege 48 507, Pálé pedig 277 612 lett. Az egyikük eredménye helyes, a másik fiú viszont a helyes számolás eredményeképpen kapott szám utolsó számjegyét rosszul írta le. Melyikük eredménye helyes? Adjuk meg, hogy melyik százzal osztható számot választotta Péter, illetve Pál.

(6 pont)

A beküldési határidő 2010. október 11-én LEJÁRT.

Megoldás. Ha a gondolt szám \(\displaystyle a\), akkor a tizedét és a századát hozzáadva \(\displaystyle a+\frac{a}{10}+\frac{a}{100}=\frac{111}{100}a\)-t kapjuk. Mivel \(\displaystyle a\) százzal osztható, ezért \(\displaystyle \frac{111}{100}a\) egész szám, mely osztható 111-gyel (ezért 3-mal is). A Péter által kapott 48 507 osztható 111-gyel, míg Pál 277 612-je nem, ezért Péter eredménye a helyes.

Péter a \(\displaystyle \frac{4850700}{111}=\)43 700-t választotta.

Pál helyes végeredménye a 277 611-től 277 619-ig terjedő számok valamelyike (kivéve a 277 612-t), amely osztható 111-gyel. Ez a szám csak a 277 611 lehet. Így Pál a \(\displaystyle \frac{27761100}{111}=\)250 100-t választotta.

Statisztika:

340 dolgozat érkezett.
6 pontot kapott:	182 versenyző.
5 pontot kapott:	89 versenyző.
4 pontot kapott:	27 versenyző.
3 pontot kapott:	9 versenyző.
2 pontot kapott:	4 versenyző.
1 pontot kapott:	9 versenyző.
0 pontot kapott:	3 versenyző.
Nem versenyszerű:	17 dolgozat.

A KöMaL 2010. szeptemberi matematika feladatai