A K. 255. feladat (2010. szeptember)

K. 255. Minimum hány egész évnek kell eltelnie ahhoz, hogy ezalatt az idő alatt eltelt hónapok darabszámában csak egyes és nulla számjegy szerepeljen?

(6 pont)

A beküldési határidő 2010. október 11-én LEJÁRT.

Megoldás. A keresendő évek száma egész, ezért a hónapok száma összesen osztható 12-vel, azaz osztható 3-mal és 4-gyel is: vizsgáljuk az oszthatóságokat!

A hónapok száma osztható 3-mal, tehát a számjegyek összege is osztható 3-mal. Mivel a vizsgált számban csak 0 és 1 van, ezért a számjegyek összege pont az egyesek száma. A hónapok száma nem nulla, ezért legalább három darab 1-es van a hónapok számában.

A hónapok száma osztható 4-gyel, ezért a százasokból és egyesekből alkotott szém is osztható 4-gyel. Az ilyen "végződések" a 00, 01, 10, 11 lehetnek, ezek közül csak a 00 osztható 4-gyel. A hónapok száma tehát osztható 100-zal.

A legkevesebb eltelt évek száma a legkevesebb hónapot is jelenti. Ezek száma 1-gyel kezdődik és 00-ra végződik és tartalmaz még legalább két 1-est, azaz legalább ötjegyű. Ha több számjegyet használnánk fel, akkor a szám is nagyobb lenne, ezért a legkisebb 12-vel osztható, csak 1-esből és 0-ból álló szám a \(\displaystyle 11 100\). A minimális évek száma pedig ennek tizenkettede, azaz 925 év.

Statisztika:

305 dolgozat érkezett.
6 pontot kapott:	127 versenyző.
5 pontot kapott:	58 versenyző.
4 pontot kapott:	26 versenyző.
3 pontot kapott:	12 versenyző.
2 pontot kapott:	14 versenyző.
1 pontot kapott:	17 versenyző.
0 pontot kapott:	40 versenyző.
Nem versenyszerű:	11 dolgozat.

A KöMaL 2010. szeptemberi matematika feladatai