 |
A K. 266. feladat (2010. november) |
K. 266. Legyenek a, b, c, d pozitív egészek. Tudjuk, hogy . Mutassuk meg, hogy
mindig
és
közé esik.
(6 pont)
A beküldési határidő 2010. december 10-én LEJÁRT.
Megoldás. Ha \(\displaystyle \frac ab < \frac cd\), akkor \(\displaystyle ad<bc\), továbbá \(\displaystyle \frac{a+c}{b+d}-\frac ab=\frac{ab+cb-ab-ad}{b(b+d)}>0\) és \(\displaystyle \frac{cb-ad}{b^2+bd}<\frac{cb-ad}{bd}=\frac ab - \frac cd\). Az egyenlőtlenség-sorozatból következik a bizonyítandó állítás: \(\displaystyle \frac ab < \frac{a+c}{b+d} < \frac cd\).
Statisztika:
170 dolgozat érkezett. 6 pontot kapott: 113 versenyző. 5 pontot kapott: 25 versenyző. 4 pontot kapott: 5 versenyző. 3 pontot kapott: 2 versenyző. 2 pontot kapott: 2 versenyző. 1 pontot kapott: 5 versenyző. 0 pontot kapott: 12 versenyző. nem versenyszerű: 6 dolgozat.
A KöMaL 2010. novemberi matematika feladatai