Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Informatika rovattal
Kiadja a MATFUND Alapítvány
Már regisztráltál?
Új vendég vagy?

A K. 266. feladat (2010. november)

K. 266. Legyenek a, b, c, d pozitív egészek. Tudjuk, hogy \frac{a}{b}<\frac{c}{d}. Mutassuk meg, hogy \frac{a+c}{b+d} mindig \frac{a}{b} és \frac{c}{d} közé esik.

(6 pont)

A beküldési határidő 2010. december 10-én LEJÁRT.

Megoldás. Ha \(\displaystyle \frac ab < \frac cd\), akkor \(\displaystyle ad<bc\), továbbá \(\displaystyle \frac{a+c}{b+d}-\frac ab=\frac{ab+cb-ab-ad}{b(b+d)}>0\) és \(\displaystyle \frac{cb-ad}{b^2+bd}<\frac{cb-ad}{bd}=\frac ab - \frac cd\). Az egyenlőtlenség-sorozatból következik a bizonyítandó állítás: \(\displaystyle \frac ab < \frac{a+c}{b+d} < \frac cd\).

Statisztika:

170 dolgozat érkezett.
6 pontot kapott:113 versenyző.
5 pontot kapott:25 versenyző.
4 pontot kapott:5 versenyző.
3 pontot kapott:2 versenyző.
2 pontot kapott:2 versenyző.
1 pontot kapott:5 versenyző.
0 pontot kapott:12 versenyző.
Nem versenyszerű:6 dolgozat.

A KöMaL 2010. novemberi matematika feladatai