A K. 326. feladat (2012. február)

K. 326. Egy belsőépítész egy nagy előadóterem mennyezetébe világítást tervezett LED-ekből (fénykibocsátó diódákból). A LED-eket koncentrikus körök mentén helyezte el. Minden körvonalon a LED-ek eloszlása egyenletes; mindegyik kör sugara kétszer akkora, mint az őt megelőző kör sugara; ha a LED-eket összekötjük a kör középpontjával, akkor két szomszédos kör közül a kisebbiken a nagyobbikhoz képest csak minden második LED pozíciójába helyeztek LED-et.

a) Mutassuk meg, hogy az egy körvonalon levő szomszédos LED-ek körvonalon mért távolsága állandó (attól is független, hogy melyik körvonalon vagyunk).

b) Mekkora ez a (körvonalon mért) távolság, ha a legnagyobb kör sugara 20 méter, a körök száma 8, és a belülről számított 4. körön 112 db LED-et találhatunk?

c) Összesen hány db LED-et használtak fel a mennyezeti világítás elkészítéséhez?

(6 pont)

A beküldési határidő 2012. március 12-én LEJÁRT.

Megoldás. \(\displaystyle a)\) Vegyünk két szomszédos kört. A megadott adatok alapján a nagyobbik kör sugara, így kerülete is kétszer akkora, viszont kétszerannyi LED van rajta, mint a kisebbik körön, így a szomszédos LED-ek távolsága a nagyobbik körön akkora, mint a kisebbik körön. Ezt folytatva kapjuk, hogy minden körön ugyanakkora a szomszédos LED-ek távolsága.

\(\displaystyle b)\) Ha a 8. kör sugara 20 méter, akkor a körök sugara kintről befelé haladva és cm-ben mérve 2000, 1000, 500, 250, 125. A belülről számított 4. kör sugara tehát 125 cm, kerülete \(\displaystyle \approx785,4\) cm. Mivel itt 112 LED található, ezért két szomszédos LED távolsága ennek 112-ed része, vagyis kerekítve \(\displaystyle 7,01\approx 7\) cm.

\(\displaystyle c)\) Mivel minden körön kétszer annyi LED van, mint az előzőn, ezért a 4. körön 8-szor annyi van, mint az elsőn. Az első körön tehát 14 LED van, így a LED-ek összes száma: \(\displaystyle 14\cdot(1+2+4+8+16+32+64+128) = 14\cdot 255 = 3570\).

Statisztika:

141 dolgozat érkezett.
6 pontot kapott:	Andrási Alex Gyula, Császma Péter, Dombrovszky Borbála, Fülöp Erik, Görgei Anna Mária, Iványi Blanka, Jójárt Alexandra, Kulbert Noémi, Markó Gergely, Máthé Roland, Mészáros Gabriella, Molnár 286 Soma, Nagy Ágnes Judit, Olexó Tünde, Pál Noémi, Rozenberszki Dávid, Ruzicska György, Sipos-Vajda Eszter, Sziegl Benedek, Tar Dávid, Tatár Krisztina, Tim Márton, Tóth László Gábor, Vásárhelyi Bence, Villám Kristóf.
5 pontot kapott:	47 versenyző.
4 pontot kapott:	32 versenyző.
3 pontot kapott:	27 versenyző.
2 pontot kapott:	7 versenyző.
1 pontot kapott:	2 versenyző.
Nem versenyszerű:	1 dolgozat.

A KöMaL 2012. februári matematika feladatai