Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Informatika rovattal
Kiadja a MATFUND Alapítvány
Már regisztráltál?
Új vendég vagy?

A K. 405. feladat (2014. január)

K. 405. a) Melyek azok az egész számokból álló számhármasok, melyeknek tagjaira teljesül, hogy szorzatuk pozitív prímszám, és ha nagyság szerinti sorrendbe állítjuk őket, akkor a szomszédosok különbsége megegyezik?

b) Melyek azok az egész számokból álló számhármasok, melyeknek tagjaira teljesül, hogy szorzatuk egy pozitív prímszám kétszerese, és ha nagyság szerinti sorrendbe állítjuk őket, akkor a szomszédosok különbsége megegyezik?

(6 pont)

A beküldési határidő 2014. február 10-én LEJÁRT.


Megoldás. a) Három egész szám szorzata csak úgy lehet prím, ha szerepel közöttük a –1 és az 1 is. A három egész szám tehát a –1, 0, 1; a –3, –1, 1 vagy a –1, 1, 3 lehet. Ezek közül csak a (–3, –1, 1) tesz eleget a feltételeknek.

b) Jelölje p a pozitív prímszámot. A három szám közül vagy mindhárom pozitív, vagy pontosan egy pozitív, kettő pedig negatív. A számokra az alábbi lehetőségek adódnak. A három számot mindig nagyság szerint növekvő sorrendbe írjuk, a szomszédosok különbségét pedig d jelöli.

-p -2 1 d=3 p=5
-2 -p 1 d=1,5 p nem egész
-2 -1 p d=1 p nem prím
-p -1 2 d=3 p nem prím
-1 -p 2 d=1,5 p nem egész
1 2 p d=1 p=3
-2p -1 1 d=2 p nem egész

Tehát két ilyen számhármas van: (-5, -2, 1) és (1, 2, 3).


Statisztika:

151 dolgozat érkezett.
6 pontot kapott:69 versenyző.
5 pontot kapott:30 versenyző.
4 pontot kapott:8 versenyző.
3 pontot kapott:3 versenyző.
2 pontot kapott:25 versenyző.
1 pontot kapott:2 versenyző.
0 pontot kapott:8 versenyző.
Nem versenyszerű:6 dolgozat.

A KöMaL 2014. januári matematika feladatai