A K. 456. feladat (2015. február)

K. 456. A \(\displaystyle b\) alapú számrendszerben felírt 220, 251 és 304 számok három egymást követő négyzetszám. Mennyi \(\displaystyle b\) értéke?

(6 pont)

A beküldési határidő 2015. március 10-én LEJÁRT.

1. megoldás: Írjuk fel a számokat a 10-es számrendszerben: \(\displaystyle A:=220_b=2b+2b^2\), \(\displaystyle B:=251_b=1+5b+2b^2\) és \(\displaystyle C:=304_b=4+3b^2\). Ebből \(\displaystyle B-A=3b+1\) és \(\displaystyle C-B=b^2-5b+3\).

Vizsgáljuk meg három tetszőleges szomszédos négyzetszámot, legyenek ezek \(\displaystyle x^2\), \(\displaystyle (x+1)^2\) és \(\displaystyle (x+2)^2\). A szomszédosak különbsége: \(\displaystyle (x+1)^2-x^2=2x+1\) és \(\displaystyle (x+2)^2-(x+1)^2=2x+3\). Tehát a szomszédos négyzetszámok közötti különbség mindig 2-vel nő.

Ez alapján: \(\displaystyle 3b+1+2=b^2-5b+3\), amiből \(\displaystyle 0=b^2-8b=b(b-8)\). Ennek két gyöke a 0 és a 8. A 0 nem lehet számrendszer alapja, \(\displaystyle b=8\) esetén a három szám tízes számrendszerbeli alakja: 144, 169 és 196.

2. megoldás(vázlat): Mivel a szomszédos négyzetszámok különbségei az egymást követő páratlan számok, ezért \(\displaystyle 251_b-220_b\) pontosan 2-vel kisebb, mint \(\displaystyle 304_b-251_b\). Mivel \(\displaystyle 251_b - 220_b\) különbsége mindenképpen \(\displaystyle 31_b\), ezért \(\displaystyle 304_b-251_b = 33_b\), azaz \(\displaystyle 304_b=251_b+33_b\). Ha elvégezzük az összeadást, akkor azt kapjuk, hogy \(\displaystyle 3_b+5_b=10_b\), vagyis a számrendszer alapszáma a 8. Valóban, ha a \(\displaystyle 220_8\), \(\displaystyle 251_8\) és \(\displaystyle 304_8\) számokat tízes számrendszerbe átváltjuk, akkor a 144, 169, 196 számokat kapjuk.

Statisztika:

63 dolgozat érkezett.
6 pontot kapott:	Bácskai Zsombor, Encz Koppány, Fekete Balázs Attila, Hegedűs 330 Marcell, Járomi Bence, Kollár Johanna, Korpás Isabel, Maksa Gergő, Márton Anna, Mihályházi Péter, Németh Csilla Márta, Slenker Balázs, Tamási Kristóf Áron, Tószegi Fanni, Wenczel Kata.
5 pontot kapott:	Benda Orsolya, Csuha Boglárka, Farkas Panka, Harsányi Benedek, Kovács 124 Marcell, Lakatos Ágnes, Mészáros Melinda, Oravecz Janka Éva, Páhoki Tamás, Perényi Gellért, Rátkai Petra, Sántha 001 Balázs, Sisák László Sándor, Szakali Benedek, Sziráki Boglárka Tünde, Varga 274 Tamás.
4 pontot kapott:	13 versenyző.
3 pontot kapott:	9 versenyző.
2 pontot kapott:	4 versenyző.
1 pontot kapott:	5 versenyző.
0 pontot kapott:	1 versenyző.

A KöMaL 2015. februári matematika feladatai