Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Informatika rovattal
Kiadja a MATFUND Alapítvány
Már regisztráltál?
Új vendég vagy?

A K. 475. feladat (2015. november)

K. 475. Írjuk be a lenti mezőkbe az egész számokat 1-től 15-ig úgy, hogy bármely két szomszédos mezőben álló szám összege négyzetszám legyen.

(6 pont)

A beküldési határidő 2015. december 10-én LEJÁRT.


Megoldás. Nézzük meg, hogy 1-től 15-ig melyik egész számot melyik másikkal összeadva kapunk négyzetszámot:

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
3, 8, 15 7, 14 1, 6, 13 5, 12 4, 11 3, 10 2, 9 1 7 6, 15 5, 14 4, 13 3, 12 2, 11 1, 10

A 8-nak és a 9-nek csak egy párja van, így az egyikük kerül az első, a másikuk az utolsó mezőbe. Kezdjük a 9-cel, ekkor mellette kell lennie a 7-nek. A 7 másik oldalán már csak a 2 állhat, a 2 túloldalán pedig a 14. Hasonlóan a 14 másik oldalán a 11-nek kell lennie, a 11 túloldalán az 5-nek, az 5 másik párja a 4, a 4-é a 12, a 12-é a 13, a 13-é a 3. A 3-nak a 13-on kívül két szomszédja is lehet, ezért inkább induljunk el visszafelé is: az utolsó mezőbe kerül a 8, elé az 1. Az 1 lehetséges szomszédai közül már csak a 15 szabad, így az kerül elé. A 15 előtt a 10-nek, a 10 előtt a 6-nak kell állnia, ami a 3-mal is négyzetszámot alkot, így sikerült a kitöltés. 8-cal kezdve ugyanezt a sorozatot kaptuk volna visszafelé:

9 7 2 14 11 5 4 12 13 3 6 10 15 1 8

Statisztika:

159 dolgozat érkezett.
6 pontot kapott:95 versenyző.
5 pontot kapott:23 versenyző.
4 pontot kapott:17 versenyző.
3 pontot kapott:17 versenyző.
0 pontot kapott:5 versenyző.
Nem versenyszerű:2 dolgozat.

A KöMaL 2015. novemberi matematika feladatai