A K. 552. feladat (2017. szeptember)

K. 552. Melyik az a legnagyobb osztója 9900-nak, ami 22-vel, 33-mal és 55-tel osztható, azonban 44-gyel, 50-nel és 99-cel nem osztható?

(6 pont)

A beküldési határidő 2017. október 10-én LEJÁRT.

Megoldás. Ha a szám osztható 22-vel, 33-mal és 55-tel, akkor ezek legkisebb közös többszörösével is, ami \(\displaystyle 2\cdot3\cdot5\cdot11\), azaz a szám prímtényezői között ezek biztosan szerepelnek. Másrészt a szám osztója \(\displaystyle 9900=2^2\cdot3^2\cdot5^2\cdot11\)-nek, ezért csak ezekből a prímtényezőkből válogathatunk. Mivel nem osztható \(\displaystyle 44=2^2\cdot11\)-gyel, így 2-es szorzó pontosan egy van a számban; mivel nem osztható \(\displaystyle 50=2\cdot5^2\)-nal, így 5-ös szorzó is pontosan egy van a számban, végül nem osztható \(\displaystyle 99=11\cdot3^2\)-nal, így egynél több 3-as szorzó sem lehet benne. Ezek alapján a legnagyobb megfelelő szám a \(\displaystyle 2\cdot3\cdot5\cdot11=330\).

Statisztika:

161 dolgozat érkezett.
6 pontot kapott:	80 versenyző.
5 pontot kapott:	34 versenyző.
4 pontot kapott:	3 versenyző.
3 pontot kapott:	11 versenyző.
2 pontot kapott:	10 versenyző.
1 pontot kapott:	11 versenyző.
0 pontot kapott:	5 versenyző.
Nem versenyszerű:	7 dolgozat.

A KöMaL 2017. szeptemberi matematika feladatai