A K. 637. feladat (2019. november)

K. 637. Az \(\displaystyle 12345678901234567890\ldots 1234567890\) számból, amely 2020 számjegyből áll, kihúzzuk a páratlan helyen álló számjegyeket. A megmaradó 1010 számjegyből kihúzzuk a páros helyen álló számjegyeket, majd a kapott 505 számjegyből ismét a páratlan helyen álló számjegyeket, és így váltogatva addig folytatjuk, amíg csak 1 számjegy marad. Melyik számjegyet húzzuk ki utoljára?

(6 pont)

A beküldési határidő 2019. december 10-én LEJÁRT.

Megoldás. Először kihúzzuk a páratlan helyen álló számjegyeket, tehát azok maradnak, amelyek sorszáma \(\displaystyle 2k\) alakú (\(\displaystyle k = 1, 2, 3\), ....). A második körben kihúzzuk ezek közül azokat, melyekre \(\displaystyle k\) páros, azaz maradnak a \(\displaystyle 2(2n–1) = 4n–2\) sorszámú helyen álló számjegyek (\(\displaystyle n = 1, 2, 3\), ....). A következőben azokat húzzuk ki, amelyekre n páratlan, így megmaradnak a \(\displaystyle 4(2m)–2 = 8m–1\) alakú számok. Ezt folytatva rendre azt kapjuk, hogy maradnak a \(\displaystyle 8(2v–1)–2=16v–10\), \(\displaystyle 16(2w)–10 = 32w–10\), \(\displaystyle 32(2x–1)–10 = 64x–42\), \(\displaystyle 64(2y)–42=128y–42\), \(\displaystyle 128(2y–1)–42=256y–170\), \(\displaystyle 256(2z)–170=512z–170\), \(\displaystyle 512(2u–1)–170 = 1024u–682\), \(\displaystyle 1024(2t)–682 = 2048t – 682\) sorszámú helyen álló számjegyek. Ez utóbbi már csak egy számjegyet jelent, az \(\displaystyle 1366\). helyen álló számjegyet, ami a \(\displaystyle 6\)-os. Tehát az utolsóként kihúzott számjegy \(\displaystyle 6\).

Statisztika:

155 dolgozat érkezett.
6 pontot kapott:	83 versenyző.
5 pontot kapott:	3 versenyző.
4 pontot kapott:	9 versenyző.
3 pontot kapott:	13 versenyző.
2 pontot kapott:	4 versenyző.
1 pontot kapott:	12 versenyző.
0 pontot kapott:	20 versenyző.
Nem versenyszerű:	5 dolgozat.
Nem számítjuk a versenybe a születési dátum vagy a szülői nyilatkozat hiánya miatt:	6 dolgozat.

A KöMaL 2019. novemberi matematika feladatai