A K. 662. feladat (2020. szeptember)

K. 662. Egy sorozat első négy tagja 1-es. Az ötödik tagtól kezdve minden tag értékét úgy kapjuk, hogy a hárommal és a néggyel előtte álló tagot összeadjuk. Hány páros szám van a sorozat első 150 tagja között?

(6 pont)

A beküldési határidő 2020. október 12-én LEJÁRT.

Megoldás. Vizsgáljuk meg sorozatot, és nézzük meg, honnantól kezdve ismétlődik valami minta (a páratlan számokat vastagon írtuk):

\(\displaystyle {\bf 1, 1, 1, 1}, 2, 2, 2, {\bf 3}, 4, 4, {\bf 5, 7}, 8, {\bf 9}, 12 | {\bf 15, 17, 21, 27}, 32, 38, 48, {\bf 59}, 70, 86, {\bf 107}, ...\) Az első 4 szám páratlan, majd a 16.-tól újra 4 páratlan kerül egymás mellé, és ez a 15 hosszú minta ismétlődik. A 15 számból 7 páros, így 10 ilyen 15-ös sorozatban, azaz az első 150 számban \(\displaystyle 10\cdot7=70\) páros van.

Statisztika:

175 dolgozat érkezett.
6 pontot kapott:	120 versenyző.
5 pontot kapott:	11 versenyző.
4 pontot kapott:	9 versenyző.
3 pontot kapott:	4 versenyző.
2 pontot kapott:	10 versenyző.
1 pontot kapott:	10 versenyző.
0 pontot kapott:	4 versenyző.
Nem számítjuk a versenybe a születési dátum vagy a szülői nyilatkozat hiánya miatt:	7 dolgozat.

A KöMaL 2020. szeptemberi matematika feladatai