A K. 679. feladat (2021. január)

K. 679. Peti még 3 éves korában kapta meg hat darabból álló építőjátékát, melyben minden építőelem téglatest alakú. Az elemek mérete \(\displaystyle 1~ \mathrm{dm} \times 1~ \mathrm{dm} \times 2~ \mathrm{dm}\). A tartódoboz belső mérete \(\displaystyle 3~ \mathrm{dm} \times 2~ \mathrm{dm} \times 2~ \mathrm{dm}\) és minden oldala más színű. Hányféle különböző elrendezésben pakolhatja be Peti a hat elemet a dobozába, ha az építőelemek ugyanolyan színűek és nem különböztetjük meg őket? (A dobozból nem lóghat ki egy építőelem sem.)

(6 pont)

A beküldési határidő 2021. február 15-én LEJÁRT.

Megoldás. Nevezzük álló elemnek az olyan építőelemet, ami az \(\displaystyle 1\times1\)-es lapjával a doboz alján áll. Az álló elemek száma 0, 2, 4 vagy 6 lehet. Páratlan sok álló elem azért nem lehet, mert akkor például a felső rétegben ez a páratlan sok álló elem páratlan sok köbdeciméternyi helyet hagy üresen, amit nem lehet kitölteni 2 köbdeciméter térfogatú (1 dm \(\displaystyle \times\) 1 dm \(\displaystyle \times\) 2 dm méretű) elemekkel.

Hat álló elemet elhelyezni egyféleképpen lehet.

Négy álló elemet elhelyezni most csak úgy lehet, hogy a felső és az első rétegben megmaradó 2-2 köbdeciméter térfogatú részt egy-egy nem álló elemmel ki lehessen tölteni. Ezt hétféleképpen tehetjük meg. A dobozt felülnézetben mutatja az ábra, a színes négyzetek jelzik az álló elemeket. A többi két elem elhelyezése egyértelmű.

Két álló elemet elhelyezni a fentieket figyelembe véve 9-féleképpen lehet.

Az első két esetben egymástól függetlenül 2-2 módon lehet elhelyezni a maradék építőelemeket az alsó és a felső rétegben, ami így 4-4 lehetőséget ad, a többi esetben egyértelmű az elhelyezés, így ez összesen 15 lehetőség.

Ha nincs álló elem, akkor az alsó és a felső rétegben három-három építőelem helyezkedik el.

Egy-egy ilyen rétegben a három elem három elrendezésben lehet.

Így a két rétegben 3 \(\displaystyle \cdot \) 3 \(\displaystyle =\) 9 elrendezés van.

Összesen tehát 1 \(\displaystyle +\) 7 \(\displaystyle +\) 15 \(\displaystyle +\) 9 \(\displaystyle =\) 32 lehetőség van az építőelemek visszapakolására.

Statisztika:

A K. 679. feladat értékelése még nem fejeződött be.

A KöMaL 2021. januári matematika feladatai