A K. 69. feladat (2006. január)

K. 69. Egy csupa különböző számjegyekből álló háromjegyű szám számjegyeiből az összes lehetséges módon kialakítjuk a különböző számjegyeket tartalmazó kétjegyű számokat. Ezeknek a kétjegyű számoknak az összege éppen az eredeti háromjegyű számmal egyenlő. Határozzuk meg az összes ilyen háromjegyű számot.

(6 pont)

A beküldési határidő 2006. február 10-én LEJÁRT.

Megoldás: Jelöljük az eredeti szám számjegyeit sorban a, b, c-vel. A kialakítható 2-jegyű számok: , , , , , . Ezek összege 22(a+b+c), ami egyenlő az eredeti számmal (tehát az eredeti szám osztható 22-vel), így 22(a+b+c)=100a+10b+c. Ez rendezve a 7(a+b+c)=3(11a+b) alakot ölti. A jobb oldal osztható 3-mal, tehát a bal oldal is, ez viszont azt jelenti, hogy a+b+c osztható 3-mal. Láttuk, hogy az eredeti háromjegyű szám osztható 22-vel, továbbá a számjegyek összege 3-mal, ezért 66 többszörösei jöhetnek szóba. 600-nál nagyobbra nem kell gondolnunk, mert hat kétjegyű szám összege 600-nál nem lehet több. Vagyis csak 132, 198, 264, 330, 396, 462, 528, 594 jöhet szóba. Ellenőrizhetjük, hogy ezek közül a 132, 264, 396 megfelelő, a többi pedig nem.

Statisztika:

144 dolgozat érkezett.
6 pontot kapott:	Bihari Mónika, Botlik Barnabás, Dániel Balázs, Izsó Dániel, János Júlia Zsófia, Kunos Ádám, Németh Erika Judit, Petrik Laura.
5 pontot kapott:	55 versenyző.
4 pontot kapott:	27 versenyző.
3 pontot kapott:	19 versenyző.
2 pontot kapott:	5 versenyző.
1 pontot kapott:	10 versenyző.
0 pontot kapott:	7 versenyző.
Nem versenyszerű:	13 dolgozat.

A KöMaL 2006. januári matematika feladatai