A K. 710. feladat (2021. december)

K. 710. Néhány dodekaédert és néhány ikozaédert tettünk az asztalra. A testeknek összesen 792 csúcsuk és 936 lapjuk van. Hány dodekaéder és hány ikozaéder van az asztalon?

(5 pont)

A beküldési határidő 2022. január 10-én LEJÁRT.

Megoldás. A dodekaédernek 8-cal több csúcsa van, mint lapja (20 csúcs, 12 lap), az ikozaédernek pedig 8-cal kevesebb csúcsa van, mint lapja (12 csúcs, 20 lap). Egy dodekaédernek és egy ikozaédernek összesen 32 csúcsa és 32 lapja van. Mivel a lapok száma összesen több, mint a csúcsok száma, ezért több ikozaéder van, mint dodekaéder és a lapok többletét a dodekaéderek számán felüli ikozaéderek adják, darabonként 8-at. Így a dodekaéderek számán felüli ikozaéderek száma: \(\displaystyle (936-792):8=144:8=18\), azaz 36 ikozaéder és 18 dodekaéder van az asztalon. (Ellenőrzés: \(\displaystyle 18\cdot20+36\cdot12=792\), illetve \(\displaystyle 18\cdot12+36\cdot20=936\).)

Statisztika:

107 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:	92 versenyző.
4 pontot kapott:	7 versenyző.
3 pontot kapott:	3 versenyző.
2 pontot kapott:	2 versenyző.
1 pontot kapott:	1 versenyző.
Nem versenyszerű:	1 dolgozat.
Nem számítjuk a versenybe a születési dátum vagy a szülői nyilatkozat hiánya miatt:	1 dolgozat.

A KöMaL 2021. decemberi matematika feladatai