Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Informatika rovattal
Kiadja a MATFUND Alapítvány
Már regisztráltál?
Új vendég vagy?

A K. 714. feladat (2022. január)

K. 714. Egy sorozat első tagja 3, és a következő tagot mindig úgy képezzük, hogy az előző tag kétszereséből kivonunk 2-t.

\(\displaystyle a)\) Írjuk fel a sorozat első 8 tagját.

\(\displaystyle b)\) Az alábbi számok közül melyik szám tagja a sorozatnak és melyik nem? Ha a szám tagja a sorozatnak, akkor mondjuk meg, hányadik tagja, ha pedig nem, indokoljuk, miért nem.

\(\displaystyle 8194,\quad 649\,287\,365,\quad 29\,453\,759\,372,\quad 8\,398\,507\,839\,348. \)

(5 pont)

A beküldési határidő 2022. február 10-én LEJÁRT.


Megoldás. \(\displaystyle a)\) 3, 4, 6, 10, 18, 34, 66, 130.

\(\displaystyle b)\) Felírva még néhány tagot: 258, 514, 1026, 2050, 4098, 8194.

A sorozat tagjai egyre nagyobbak lesznek. A 8194 a 14. tagja a sorozatnak.

A \(\displaystyle 649\,287\,365\) nem tagja a sorozatnak, mert a második tagtól kezdve a képzési szabály miatt minden tag páros.

A \(\displaystyle 29\,453\,759\,372\) nem tagja a sorozatnak, mert a sorozat tagjainak utolsó számjegye (a második tagtól kezdve) ismétlődik: 4, 6, 0, 8 periódus szerint a képzési szabály következtében.

A \(\displaystyle 8\,398\,507\,839\,348\) nem tagja a sorozatnak, mert a sorozat tagjainak 4-es maradéka a harmadik tagtól kezdve 2 (4-es maradékok: 3, 4, 2, 2, 2, … ). Ez azért van így, mert ha egy szám 4-es maradéka 2, akkor a kétszerese osztható 4-gyel, így a kétszeresénél 2-vel kisebb szám négyes maradéka ismét 2 lesz, és így tovább. A \(\displaystyle 8\,398\,507\,839\,348\) pedig osztható 4-gyel, hiszen \(\displaystyle 4|48\).

Megjegyzés. Ez utóbbi indoklás megfelelő arra is, hogy \(\displaystyle 29\,453\,759\,372\) miért nem tagja a sorozatnak, hiszen \(\displaystyle 4|72\) is teljesül.


Statisztika:

100 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:Bencze Mátyás, Bérczes Botond, Csáki Botond Benjámin, Császár Milán, Csiszár András, Deményi Zalán, Domján István, Fehér Eszter, Fehér Hanna, Fercsák Flórián, Ferenczi Bence, Garamszegi Hanna, Gregor Vivien Veronika, Gyuricsek Ákos, Herpai József Mátyás, Iván Máté Domonkos, Jakubovics Kinga, Jurányi Benedek, Kiss 152 Róbert Ádám, Kisszölgyémi Zsófia, Klement Tamás, Kopcsa Domonkos, Körmendi György, Li Jiamo, Márfai Dóra, Medgyesi Júlia, Mindszenti Balázs, Nagy Huba, Nagy Krisztofer , Oláh András, Oleár Ákos, Papp Zsófia, Pocsay Levente László, Pónus Marcell, Pulka Gergely Tamás, Puskás Péter, Rási Bence, Sándor Botond, Sebők Violetta Írisz, Simon Bálint, Szabó Donát, Személyi Sebestyén Gábriel, Szolnoki Máté Tódor, Ujpál Bálint, Wang Kehan, Wodala Gréta Klára.
4 pontot kapott:23 versenyző.
3 pontot kapott:13 versenyző.
2 pontot kapott:7 versenyző.
1 pontot kapott:5 versenyző.
Nem versenyszerű:6 dolgozat.

A KöMaL 2022. januári matematika feladatai