Problem K. 730. (September 2022)

K. 730. Eight chords are drawn in a circle, such that they have the largest possible number of intersections. Into how many regions will the eight chords divide the disc bounded by the circle?

(5 pont)

Deadline expired on October 10, 2022.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. A lehető legtöbb metszéspont akkor lesz, ha minden húr minden húrt elmetsz és egy metszésponton át csak két húr megy át. Ekkor minden húr hét húrt metsz el és minden húron hét metszéspont lesz. Haladjunk egyesével! Kezdetben egy rész van, a körlap. Ha behúzzuk az első húrt, két rész keletkezik. A második húrt az első metszéspontja két részre bontja, mindkét rész egy-egy korábbi területrészből vág le egy-egy darabot, így 4 rész lesz már (\(\displaystyle 1+1+2\)). A harmadik húrt az első kettő húr két metszéspontja három részre bontja és mindhárom rész egy-egy korábbi területrészből vág le egy-egy darabot, így 7 rész lesz már (\(\displaystyle 1+1+2+3\)). A negyedik húrt az első három húr három metszéspontja négy részre bontja és mind a négy rész egy-egy korábbi területrészből vág le egy-egy darabot, így 11 rész lesz már (\(\displaystyle 1+1+2+3+4\)). Ezt a gondolatmenetet folytatva nyolc húr esetén a részek száma: \(\displaystyle 1+1+2+3+4+5+6+7+8 = 37\).

Statistics:

121 students sent a solution.
5 points:	Bartusková Viktória, Csontos Levente12, Engi Zita, Gárdi Bonifác István, Gyöngyösi Dorottya, Horváth Máté Kristóf, Molnár Lili, Szeszler Móric, Tajta Sára, Tóth 207 Bence, Tyukos Boglárka .
4 points:	Angyal Szilárd, Derűs Ádám , Domján István, Ďurčovič Ádám, Forrai Boldizsár, Gyukity Milán, Herczeg Viktória , Horváth Imre, Kaposi-Ly Dávid, Kökény Kristóf, Mátyás Míra, Ollé Sarolta , Pikó András, Rem Domonkos, Tarján Ferenc , Virág Eszter, Zádori Gellért.
3 points:	27 students.
2 points:	30 students.
1 point:	12 students.
0 point:	1 student.
Unfair, not evaluated:	16 solutionss.
Not shown because of missing birth date or parental permission:	7 solutions.

Problems in Mathematics of KöMaL, September 2022