A K. 751. feladat (2023. január)

K. 751. Van öt csokigolyónk, melyek külsőre ugyanúgy néznek ki. Három csokigolyó mindegyikének tömege 20 g, egy csokigolyó 19 g tömegű, egy pedig 21 g-os. Rendelkezésünkre áll egy kétkarú mérleg. Igazoljuk, hogy a 19 g tömegű csokigolyót három méréssel kiválaszthatjuk, de kevesebbel nem.

(5 pont)

A beküldési határidő 2023. február 10-én LEJÁRT.

Megoldás. Jelölje a csokigolyókat A, B, C, D és E.

Először azt mutatjuk meg, hogy három mérés elég:

Mérjük meg A-t és B-t!

I.Ha egyensúlyban vannak (mindkettő 20 g-os), mérjük meg C-t és D-t! Egyensúlyban nem lehetnek, így mindenképpen kiderül, melyik a könnyebb. Ezt a csokigolyót mérjük meg E-vel. A könnyebb lesz a 19 g-os.

II.Ha A és B nincsenek egyensúlyban, akkor mérjük meg C-t és D-t.

1.Ha C és D egyensúlyban vannak, akkor A és B közül a könnyebbel mérjük meg E-t. A könnyebb lesz a 19 g-os.

2.Ha C és D nincsenek egyensúlyban, akkor a könnyebbel mérjük össze az A és B közül a könnyebbet. A könnyebb lesz a 19 g-os.

Most megmutatjuk azt, hogy két mérés nem elég:

Ha az első mérés 1-1 csokigolyó összemérése és egyensúly van (20 g-20 g), akkor kimaradt a 19, a 20 és a 21 g-os csokigolyó, és egy méréssel kellene kiválasztani, melyik a 19-g-os. Ha 1-1 csokigolyót teszünk a mérlegre, akkor nem tudjuk megmondani, melyik a 19 g-os. (Akár e három kimaradóból teszünk fel 1-1-et, akár az egyik kimért 20 g-os csokigolyóval mérjük, nem lehetünk biztosak a sikerben: előbbi esetben a könnyebb vagy a kimaradó lehet a 19 g-os, utóbbiban a három kimenetel közül csak az egyikben tudunk választ adni, akkor, ha a kimaradó csokigolyó könnyebbnek bizonyul a 20 g-osnál.) Nyilván másodjára 2-2 csokigolyót feltéve hasonlóan nem juthatunk semmire. Ha az első mérés 1-1 csokigolyó összemérése és nincs egyensúly, akkor kimaradhat a \(\displaystyle 20, 20, 21\), a \(\displaystyle 20, 20, 20\) vagy a \(\displaystyle 19, 20, 20\) csokigolyó-hármas. Ezek közül csupán egy további méréssel a 19 g-os csokigolyó csak akkor lenne biztosan kiválasztható, ha pontosan tudnánk, hogy a mérlegen a 19 g-os és a 21 g-os csokigolyó van. Ez nyilván nem dönthető el egyértelműen, hiszen az első mérésnél a mérlegen lehet a \(\displaystyle 19, 20\) és a \(\displaystyle 20, 21\) grammos pár is. Ha az első mérésben 2-2 csokigolyót mérünk össze, akkor egyenlőség esetén (AB = CD) csak az derül ki, hogy az ötödik csokigolyó (E) 20 g-os és a 19 g-os és 21 g-os egy oldalon vannak a mérlegen, de nem tudjuk, melyiken.

A második méréssel ezt kideríteni nem tudjuk, az alábbiakban leírtak miatt:

Ha a második mérésben egy-egy csokigolyót mérünk össze, akkor azonos oldalról választva egyenlőség esetén (a két 20 g-osat mértük meg) nem tudjuk, hogy a másik kettőből melyik a 19 g-os, különböző oldalról választva pedig a garantált nem egyenlőség esetén nem tudjuk, hogy a 19-20, vagy a 20-21g-os golyópár van-e a mérlegen. Ha a második mérésben 2-2 csokigolyót mérünk össze, akkor ezt megtehetjük az eredeti négy csokigolyó közül kettő felcserélésével. Pl. AC-t és BD-t mérjük össze. Ekkor garantált, hogy mindkét oldalon van egy 20 g-os csokigolyó és a másik kettő (a 19 g-os és a 21 g-os) különböző oldalon vannak, így amelyik a könnyebb, azon az oldalon van a 19 g-os, de azt nem tudjuk, hogy ez az ott maradt vagy a megcserélt csokigolyó. Ha a második mérésben 2-2 csokigolyót mérünk össze úgy, hogy valamelyik csokigolyót a négyből kitesszük, és helyette az ötödiket tesszük be (pl. AB-t és CE-t mérjük össze), akkor egyenlőség esetén csak annyit tudunk, hogy a nem cserélt oldalon (AB) van a 19 g-os, de, hogy melyik, azt nem tudhatjuk. Lényegében ugyanez a helyzet, ha az első mérésben 2-2 csokigolyót mérünk meg, és nincs egyenlőség. Ekkor a kimaradó 1 csokigolyó a \(\displaystyle 19, 20, 21\) grammos csokigolyók bármelyike lehet. Tehát legkevesebb három mérésre szükség van, és az elegendő is.

Statisztika:

64 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:	Csikai Anna Alida, Ligeti Ábel, Molnár Lili, Móricz Zsombor, Szabó 926 Bálint, Tajta Sára.
4 pontot kapott:	Bodor Csanád, Török Szilárd.
3 pontot kapott:	14 versenyző.
2 pontot kapott:	17 versenyző.
1 pontot kapott:	10 versenyző.
0 pontot kapott:	4 versenyző.
Nem versenyszerű:	6 dolgozat.
Nem számítjuk a versenybe a születési dátum vagy a szülői nyilatkozat hiánya miatt:	5 dolgozat.

A KöMaL 2023. januári matematika feladatai