Problem K. 761. (March 2023)

K. 761. John is making new fractions out of the fraction 3/5 by writing the same digit in both the numerator and the denominator—either in front of or behind the existing digit—to obtain two-digit numbers. What is the largest difference between the numbers that can be formed in this way?

(5 pont)

Deadline expired on April 11, 2023.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. A \(\displaystyle \overline{3a}/\overline{5a}\) alakú számok sorban: \(\displaystyle 30/50 < 31/51 <\ldots< 39/59\).

A \(\displaystyle \overline{3a}/\overline{a5}\) alakú számok sorban: \(\displaystyle 31/15 > 32/25 > \ldots > 39/95\).

Az \(\displaystyle \overline{a3}/\overline{a5}\) alakú számok sorban: \(\displaystyle 13/15 < 23/25 < \ldots < 93/95\).

Az \(\displaystyle \overline{a3}/\overline{5a}\) alakú számok sorban: \(\displaystyle 13/51 < 23/52 < \ldots < 93/59\).

Az ilyen módon előállított törtszámok közül a lehető legnagyobb mindenképp az egyes típusok maximumai közül kerül ki – ugyanígy a legkisebb a minimumok közül. A legnagyobb eltérést úgy kapjuk meg, hogy a legnagyobb számból kivonjuk a legkisebbet.

Twhát már csak a négy legnagyobbat és a négy legkisebbet kell összehasonlítani. A legkisebb a \(\displaystyle 13/51\), ami \(\displaystyle 1/3\)-nál is kisebb, a legnagyobb a \(\displaystyle 31/15\), ami \(\displaystyle 1/2\)nél is nagyobb. A kettő különbsége \(\displaystyle 154/85\).

Statistics:

69 students sent a solution.
5 points:	Csorba Marcell, Derűs Ádám , Domján István, Horváth Imre, Incze-Nagy Enéh, Kaposi-Ly Dávid, Kiss Máté, Kókai Ákos, Korcsik Lujza, Kökény Kristóf, Libor Andrea, Ligeti Ábel, Malinkó Dioméd, Mátyás Míra, Molnár Lili, Pikó András, Pulka Gergely Tamás, Rem Domonkos, Szabó 926 Bálint, Szeszler Móric, Tajta Sára.
4 points:	Agárdi Balázs, Szabó 926 Bence.
3 points:	6 students.
2 points:	9 students.
1 point:	15 students.
0 point:	7 students.
Unfair, not evaluated:	7 solutionss.
Not shown because of missing birth date or parental permission:	2 solutions.

Problems in Mathematics of KöMaL, March 2023