A K. 790. feladat (2023. december)

K. 790. Bergengócia 100 leggazdagabb embere egy üzleti vacsorán találkozott egy teremben, ahol 12 hatalmas asztal állt. Akiknek a születésnapja ugyanabban a hónapban van, azok ugyanahhoz az asztalhoz ültek. Keressük meg azt az asztalt, amelyik körül a legkevesebben ültek, legyen itt \(\displaystyle X\) fő. Keressük meg azt az asztalt is, ahol a legtöbben ültek, legyen itt \(\displaystyle Y\) fő. Határozzuk meg \(\displaystyle X\) lehető legnagyobb értékét és \(\displaystyle Y\) lehető legkisebb értékét.

(5 pont)

A beküldési határidő 2024. január 10-én LEJÁRT.

Megoldás. Sejthető, hogy \(\displaystyle X\) legnagyobb értéke, illetve \(\displaystyle Y\) legkisebb értéke akkor jön létre, ha nagyjából egyforma létszámú ember ül minden asztalnál. Ha mindenhol 8-an ülnek, akkor az emberek száma 100-nál kevesebb, ha mindenhol 9-en ülnek, akkor 100-nál több. Tehát lesz legalább egy olyan asztal, ahol legalább 9-en ülnek, és lesz legalább egy olyan asztal, ahol legfeljebb 8-an. Vagyis állításunk az, hogy \(\displaystyle X\) legnagyobb értéke 8, \(\displaystyle Y\) legkisebb értéke pedig 9.

Ezek az értékek meg is valósulhatnak, például ha négy asztalnál 9-9, a többi asztalnál 8-8 ember ül.

Ha a legkisebb létszámú asztalnál 9-en vagy annál többen lennének, akkor ez minden asztalra igaz lenne, vagyis az emberek száma \(\displaystyle 9\cdot12=108\) vagy ennél több lenne, de ez 100-nál több embert jelentene.

Ha a legnagyobb létszámú asztalnál 8-an vagy kevesebben lennének, akkor ez minden asztalra teljesülne, vagyis az emberek száma \(\displaystyle 8\cdot12=96\) vagy ennél kevesebb lenne, de ez 100-nál kevesebb embert jelentene. Tehát \(\displaystyle X\) maximuma 8, \(\displaystyle Y\) minimuma 9.

\(\displaystyle Y\) legkisebb értéke nem lehet 8 vagy annál kevesebb, mert akkor legfeljebb \(\displaystyle 12\cdot8=96\) ember ülne csak az asztaloknál. 9 viszont lehet \(\displaystyle Y\) legkisebb értéke, mert ha például 4 asztalnál 9-en, 8 asztalnál 8-an ülnek, akkor \(\displaystyle Y\) értéke 9. \(\displaystyle X\) értéke nem lehet 9 vagy annál nagyobb, mert akkor legalább \(\displaystyle 12\cdot9=108\) embernek kellene az asztaloknál ülnie. 8 viszont lehet \(\displaystyle Y\) legkisebb értéke, mert például az előző – \(\displaystyle 4\cdot9+8\cdot8\) – ülésrend esetén \(\displaystyle X\) értéke 8.

Statisztika:

125 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:	Bubálik Nóra, Farkas Simon, Ferencz Kevin, Gáti Benjamin, Hajnal Ákos Huba, Juhász Zsombor, Kőhidi Kata, Ördög Dominik, Pázmándi Renáta , Szabó Máté, Szalóki Árpád, Tálas Lídia Anna, Timár Vince , Viczián Adél.
4 pontot kapott:	Chen Peidong, Csabai Samu, Csáki Anikó, Fülöp Magdaléna, Gazdag Lóránd, Gyerkó Anna, Hegedűs Gergely, Ivák László, Kóródy Vera, Kubica Ádám, Némethy Márk, Olajos Anna, Papp Emese Petra, Sajó Marcell 16, Schmidt Marcell, Sipos Dániel Sándor, Székely Belián, Tóth Bálint Levente, Ungár Vince.
3 pontot kapott:	21 versenyző.
2 pontot kapott:	5 versenyző.
1 pontot kapott:	3 versenyző.
0 pontot kapott:	2 versenyző.
Nem számítjuk a versenybe a születési dátum vagy a szülői nyilatkozat hiánya miatt:	61 dolgozat.

A KöMaL 2023. decemberi matematika feladatai