A K. 829. feladat (2024. november)

K. 829. Melyik az a két legkisebb szomszédos pozitív egész szám, amelyeknek a számjegyeit összeadva éppen 2024-et kapunk?

(5 pont)

A beküldési határidő 2024. december 10-én LEJÁRT.

Megoldás. Biztosan van a számban tízes átlépés, mert ha nem lenne, akkor a számjegyek összege páratlan lenne, hiszen ekkor az utolsó számjegy 1-gyel nő, míg a többi nem változik, így a többi számjegy összege páros, a két utolsó számjegy összege pedig páratlan.

A kisebb szám 9-re végződik, így az 1-gyel nagyobb számban az egyesek helyiértékén 0, a tízesek helyiértékén 1-gyel nagyobb szám áll, mint a kisebb számban. Ha a kisebb szám nem 99-re végződik, akkor a számjegyeinek összege 8-cal nagyobb, mint a kisebb számé. Különben viszont a \(\displaystyle \ldots99\) végződésből \(\displaystyle \ldots.00\) lenne, ezért a 2024 számjegyösszeghez több számjegyre lenne szükség a több 0 miatt, azaz ebben az esetben nem a legkisebb számokat kapnánk. Ezek miatt tehát a kisebb számban a számjegyek összege \(\displaystyle (2024+8):2 =1016\).

Mivel a legkisebb ilyen számokat keressük, így a lehető legkevesebb számjegyet szeretnénk, ezért a legnagyobb (9-es) számjegyeket kell használnunk. Mivel \(\displaystyle 1016=9\cdot112+8\), ezért 112 db 9-es és egy 8-as számjegy szerepel a kisebb számban, mégpedig úgy, hogy ne 99-re végződjön. Ekkor egyetlen és legjobb lehetőségünk a kisebb számra \(\displaystyle 999\ldots9989\), melyben a 8-as előtt 111 db 9-es áll.

Statisztika:

112 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:	Fórján Bernát, Győrffy Csanád, Havasi Huba László, Hollósi Dominik, Lovas Márk, Mátyás Levente, Molnár Levente, Mosonyi Mátyás, Pászti Sámuel, Patócs 420 Péter, Péter Tamás, Radošická Emma, Rózsa Péter.
4 pontot kapott:	Bálint Barnabás, Barta Zsófia, Bloemsma Péter Sándor, Chen Zhibo, Hajdu Vince, Havasi Máté Pál, Holderith Anna, Holló Barnabás, Huang Han, Koós Tamás, Kovács Domonkos, Kudomrák Lili Anna , Kun Milán, Leitner-Takács Bende, Makra Zóra Liliána, Máté Zsófia, Medgyesi András, Mikó Petra, Orosz Borostyán, Pásztor Lea Kata, Petrik Kata, Pocsay Bence Máté, Szabó Bence, Szabó Milos Farkas, Szighardt Anna, Zsilák Márk Péter.
3 pontot kapott:	15 versenyző.
2 pontot kapott:	13 versenyző.
1 pontot kapott:	4 versenyző.
0 pontot kapott:	15 versenyző.
Nem versenyszerű:	7 dolgozat.
Nem számítjuk a versenybe a születési dátum vagy a szülői nyilatkozat hiánya miatt:	19 dolgozat.

A KöMaL 2024. novemberi matematika feladatai