 |
A K. 840. feladat (2025. január) |
K. 840. A digitális számjegyek kis hatszögekből épülnek fel. A \(\displaystyle 0\) hat darab, az \(\displaystyle 1\) két darab, a \(\displaystyle 2\) öt darab hatszögből és így tovább (lásd az ábrát). Hány olyan szomszédos pozitív egész számokból álló pár van, amelyek digitális számjegyekkel, ilyen módon leírt alakja ugyanannyi hatszögből épül fel?
(5 pont)
A beküldési határidő 2025. február 10-én LEJÁRT.
Megoldás.
| szám | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 |
| hatszögek száma | 6 | 2 | 5 | 5 | 4 | 5 | 6 | 3 | 7 | 6 |
Ha a számszomszédok esetében nincsen tízes átlépés, akkor csak az utolsó számjegyükben különböznek, tehát ezeknek kell azonos számú hatszögből felépülniük. Az egyetlen ilyen számpár a 2 és 3, így megfelelő minden olyan számszomszéd, melyek közül a kisebb 2-re, a nagyobb pedig 3-ra végződik. (2-3, 12-13, 22-23, 32-33, \(\displaystyle \ldots\), 1462-1463, \(\displaystyle \ldots\))
Ha a szám 9-re végződik, és így van tízes átlépés, akkor az utolsó számjegyből 0 lesz az egyesek helyiértékén és ott a hatszögek száma így nem változik (6 db volt és 6 db lesz). Ha esetleg több 9-esre végződik a szám, akkor is megmarad ezeken a helyiértékeken a hatszögek száma, mert mindenhol 9-ből 0-lesz.
Így az utolsó nem 9-es számjegy előtti számjegy és a nála 1-gyel nagyobb szám ugyanannyi hatszögből kell, hogy álljon, ami csakis a 2 és a 3 lehet.
Tehát van még rengeteg (végtelen sok) megfelelő szám. Ezek a számok néhány 9-esre végződnek és előttük 2 van, a 2-es előtt pedig bármilyen számcsoport. Pl: 29-30, 56729999-56730000, 111111299999999-111111300000000, stb.
Statisztika:
107 dolgozat érkezett. 5 pontot kapott: Cseres-Gergely Kinga, Elekes Emma, Győrffy Csanád, Hajdu Vince, Harangozó Bálint, Holló Barnabás, Hörich Dominik, Huang Han, Kása Richárd Zsolt, Korbely Ádám , Kun Milán, Lay Kristóf, Leitner-Takács Bende, Lovas Márk, Majer Veronika, Makra Zóra Liliána, Máté Zsófia, Medgyesi András, Mészáros Kristóf, Miskolczi Dóra, Mosonyi Mátyás, Pásztor Lea Kata, Patócs 420 Péter, Péter Tamás, Pocsay Bence Máté, Rácz Koppány Bendeguz, Radošická Emma, Raschek Vince, Rózsa Péter, Škerlec Denis , Söderberg Kajsa, Szabados Ákos, Szabó Anita, Szabó Milos Farkas, Vámos Lili, Verebély Dániel. 4 pontot kapott: 25 versenyző. 3 pontot kapott: 4 versenyző. 2 pontot kapott: 7 versenyző. 1 pontot kapott: 11 versenyző. 0 pontot kapott: 7 versenyző. Nem versenyszerű: 2 dolgozat. Nem számítjuk a versenybe a születési dátum vagy a szülői nyilatkozat hiánya miatt: 15 dolgozat.
A KöMaL 2025. januári matematika feladatai