A K. 841. feladat (2025. január)

K. 841. \(\displaystyle 2025\). január \(\displaystyle 25\)-én (\(\displaystyle 2025\).\(\displaystyle 01\).\(\displaystyle 25\).) ünnepeljük Fekete István író (művei pl. Vuk, Kele, Tüskevár) születésének \(\displaystyle 125\). évfordulóját. A \(\displaystyle 20\;250\;125\) szám \(\displaystyle 11\)-gyel nem osztható, és \(\displaystyle 3\)-mal osztva \(\displaystyle 2\)-t ad maradékul. Hány olyan nyolcjegyű szám készíthető ezen szám számjegyeinek átrendezésével, amely osztható \(\displaystyle 11\)-gyel és ugyancsak \(\displaystyle 2\)-t ad maradékul \(\displaystyle 3\)-mal osztva?

(5 pont)

A beküldési határidő 2025. február 10-én LEJÁRT.

Megoldás. A 11-gyel oszthatóság feltétele, hogy a páratlan sorszámú helyiértéken álló számjegyek és a páros sorszámú helyiértéken álló számjegyek összegének különbsége 11-gyel osztható legyen.

A 20250125 számjegyeinek összege 17, így itt a két számjegycsoport összegének különbsége 0 nem lehet, de 11 igen (11-nél nagyobb különbséghez legalább \(\displaystyle 23+1=24\) számjegyösszeg lenne szükséges, mert nincs 4 db 0.) A 11 \(\displaystyle 14-3\) alakban áll elő, tehát a két számjegycsoport 5, 5, 2, 2 és 2, 1, 0, 0. Ha az 5, 5, 2, 2 csoport valamelyik tagjával kezdődik a szám, akkor ezek 3-3-féleképpen rendezhetők sorba, míg a másik csoport tagjai az előzőekben látottak szerint 12-féleképpen, mert 0-val is indulhat. Tehát ez 72 számot jelent.

Ha a 2, 1, 0, 0 számok 2-es vagy 1-es számjegyével kezdődik a szám, akkor ezek 3-3-féleképpen rendezhetők sorba, míg az 5, 5, 2, 2 csoport tagjai 6-féleképpen. Ez újabb 36 db számot eredményez, így összesen 108 megfelelő számot találunk.

Statisztika:

85 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:	Balla Botond, Chen Zhibo, Csehi Panna, Felföldi Zsófia, Fórján Bernát, Győrffy Csanád, Hajdu Vince, Holló Barnabás, Huang Han, Kudomrák Lili Anna , Laczó Zoltán, Lovas Márk, Martin-Hajdu Péter, Máté Zsófia, Mosonyi Mátyás, Nagy Roxána, Péter Tamás, Rácz Koppány Bendeguz, Robb Horkay Jázmin, Szabó Anita, Szighardt Anna, Zsilák Márk Péter.
4 pontot kapott:	Bloemsma Péter Sándor, Csík Zoltán Richárd, Havasi Dominik, Havasi Huba László, Hollósi Dominik, Izsa Ferenc Gergő, Kun Milán, Leitner-Takács Bende, Majer Veronika, Makra Zóra Liliána, Medgyesi András, Molnár Boldizsár, Molnár Levente, Nagy Alexander, Patócs 420 Péter, Radošická Emma, Rózsa Péter, Szabó Milos Farkas, Szabó Szilárd.
3 pontot kapott:	13 versenyző.
2 pontot kapott:	5 versenyző.
1 pontot kapott:	10 versenyző.
0 pontot kapott:	9 versenyző.
Nem számítjuk a versenybe a születési dátum vagy a szülői nyilatkozat hiánya miatt:	7 dolgozat.

A KöMaL 2025. januári matematika feladatai