Problem K. 845. (February 2025)

K. 845. Fill in a \(\displaystyle 3 \times 3\) table with the numbers 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 9, and 10 such that the sum of any two adjacent cells (horizontally or vertically) is a prime number. How many different solutions exist for this task? (Two solutions are considered different if there is a number that has different neighbors in one arrangement compared to the other one.)

(5 pont)

Deadline expired on March 10, 2025.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Két egész szám összege csak úgy lehet 2-nél nagyobb prímszám, ha az egyik páros, a másik páratlan. (A feltételek miatt a 2 nem lehet összeg.) Mivel a megadott 9 szám között 5 páratlan és négy páros van, így csakis olyan elrendezés lehetséges, melyben a középső, illetve a sarokmezőkre páratlan szám kerül, az oldalközepekre pedig páros szám.

űA 9 nem kerülhet középre, mert akkor a 6 mellé kerül és az összegük 15, ami nem prím.

A 7 nem kerülhet középre, mert akkor a 2 mellé kerül és az összegük 9, ami nem prím.

Az 5 nem kerülhet középre, mert akkor a 10 mellé kerül és az összegük 15, ami nem prím.

A 3 nem kerülhet középre, mert akkor a 6 mellé kerül és az összegük 9, ami nem prím.

Az 1 kerülhet középre, mert \(\displaystyle 2+1=3\), \(\displaystyle 4+1=5\), \(\displaystyle 6+1=7\), \(\displaystyle 10+1=11\) prímszámok.

Összesen tehát négy megoldása van a feladatnak.

Legyen a 2 felül középen. Vele szemben a 4, a 6 vagy a 10 lehet és ekkor a másik két páros szám elhelyezése már adott (a sorrendjük nem számít, mert ugyanannak az elrendezésnek a tükörképét kapnánk a másik sorrendben.)

Az első táblázatban a 3 a jobb felső vagy a jobb alsó sarokba kerülhet, az 5 csak a bal felső sarokba, a 7 a két alsó sarokmezőbe, a 9 a jobb felső vagy a jobb alsó mezőbe mehet.

Ezek alapján az első esetben két megfelelő elrendezés van:

A második táblázatban az 5-öt nem lehet elhelyezni, mert vagy a 4-gyel ad 9-es összeget, vagy a 10-zel 15-öt, így itt nincs megoldás.

A harmadik táblázatban a 3 a bal felső vagy a bal alsó mezőbe mehet, az 5 csak a jobb felső mezőbe, a 7 a két alsó sarokmezőbe, a 9 a bal felső vagy a bal alsó mezőbe mehet.

Statistics:

82 students sent a solution.
5 points:	Barta Zsófia, Hajdu Vince, Holló Barnabás, Huang Han, Izsa Ferenc Gergő, Kása Richárd Zsolt, Kiss Ákos, Kovács Domonkos, Kudomrák Lili Anna , Kun Milán, Laczó Zoltán, Lovas Márk, Lovász Bence, Majer Veronika, Máté Zsófia, Medgyesi András, Molnár Levente, Nagy Alexander, Péter Tamás, Radošická Emma, Robb Horkay Jázmin, Rózsa Péter, Szabó Anita, Szabó Bence, Szighardt Anna, Táborszki Réka, Verebély Dániel, Zsilák Márk Péter.
4 points:	Abermann Emma Gréta, Bloemsma Péter Sándor, Chen Zhibo, Csehi Panna, Csík Zoltán Richárd, Fórján Bernát, Jancsurák Flóra, Kondás Ádám, Kovács 444 Kamilla, Lontay András , Lukács Luca, Macskássy Márk, Nagy Roxána, Patócs 420 Péter, Raschek Vince, Szabados Ákos, Szegedi Attila, Vámos Lili, Vass Dóra.
3 points:	7 students.
2 points:	4 students.
1 point:	5 students.
0 point:	8 students.
Unfair, not evaluated:	2 solutionss.
Not shown because of missing birth date or parental permission:	9 solutions.

Problems in Mathematics of KöMaL, February 2025