Problem K. 856. (April 2025)
K. 856. We have a bag filled with red, blue, and green marbles. The total number of the marbles is 25. There is a paper attached to the bag containing the following statements:
\(\displaystyle \bullet\) There are more blue marbles than red in the bag.
\(\displaystyle \bullet\) The total number of the red and blue marbles is 22.
\(\displaystyle \bullet\) The difference between the number of the red and the number of the blue marbles is less than the number of green marbles.
\(\displaystyle \bullet\) There are more blue marbles, than the red and the green marbles combined.
\(\displaystyle \bullet\) There are two colors with the same number of marbles in the bag.
We know that exactly one of these five statements is false. What can be the possible number of marbles of each color?
Proposed by: Mátyás Czett, Budapest
(5 pont)
Deadline expired on May 12, 2025.
Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation
Megoldás. Ha az első állítás hamis lenne, a negyedik is hamis lenne, de ekkor nem lehetne pontosan egy hamis állítás. Ezért az első állítás igaz, több kék golyó van a zsákban, mint piros.
Ennek fényében a harmadik és negyedik állítás ekkor kizárja egymást, mert pont egymás tagadása, így az összes többi állításnak igaznak kell lennie.
A második állítás miatt a zöld golyók száma 3, így a második állítás miatt a kékek száma nagyobb, mint 11, a pirosak száma pedig kisebb, mint 11. Így az ötödik állítás miatt a piros golyók száma is 3, a maradék 19 golyó pedig kék.
Ellenőrizzük le, hogy ebben az esetben valóban egy hamis állítás van-e! \(\displaystyle 19>3\) igaz, \(\displaystyle 3+19=22\) igaz, \(\displaystyle |3-19|<3\) hamis, \(\displaystyle 19>3+3\) igaz és \(\displaystyle 3=3\) igaz, ez valóban megoldás.
3 piros, 19 kék és 3 zöld golyó van a zsákban.
Statistics:
81 students sent a solution. 5 points: Bloemsma Péter Sándor, Csík Zoltán Richárd, Győrffy Csanád, Hajdu Vince, Holló Barnabás, Izsa Ferenc Gergő, Kiss Ákos, Kovács Domonkos, Kudomrák Lili Anna , Laczó Zoltán, Lovas Márk, Macskássy Márk, Máté Zsófia, Mátyás Levente, Medgyesi András, Mosonyi Mátyás, Nagy Alexander, Némethy Márk, Patócs 420 Péter, Péter Tamás, Radošická Emma, Robb Horkay Jázmin, Rózsa Péter, Škerlec Denis , Szabó Bence, Szabó Milos Farkas, Szegedi András, Széll Dorina, Szighardt Anna, Zsilák Márk Péter. 4 points: Kása Richárd Zsolt, Majer Veronika, Makra Zóra Liliána, Máthé Csongor Örs, Mészáros Kristóf, Molnár Levente. 3 points: 7 students. 2 points: 3 students. 1 point: 16 students. 0 point: 12 students. Not shown because of missing birth date or parental permission: 7 solutions.
Problems in Mathematics of KöMaL, April 2025