A P. 4774. feladat (2015. november)

P. 4774. Alsó végénél tengelyezett, függőlegesen tartott rúd ütközővel van ellátva, melyen kicsiny gyöngy nyugszik, a tengelytől \(\displaystyle d\) távolságban. A rudat az eredeti helyzete körül kicsiny \(\displaystyle \theta_0\) szögamplitúdójú harmonikus rezgésbe hozzuk az ábra szerint. Mekkora legyen a rezgés frekvenciája, hogy a gyöngy lerepüljön a rúdról? (A súrlódás elhanyagolható.)

Közli: Vigh Máté, Budapest

(5 pont)

A beküldési határidő 2015. december 10-én LEJÁRT.

Megoldás. Első gondolatunk az lehet, hogy a gyöngy lerepülésének feltétele, hogy a pályájának tetőpontján éppen elváljon az ütközőtől. Az ebből a feltételből kapható naiv

\(\displaystyle f>\frac1{2\pi}\sqrt{\frac{g}{\theta_0^2d}} \)

egyenlőtlenség azonban hibás! A helyes eredményhez írjuk fel a gyöngyre ható eredő erő függőleges komponensét az idő függvényében, és képezzük ennek időbeli átlagát! A kis amplitúdójú harmonikus rezgőmozgást végzó gyöngy mozgásegyenletéből leolvashatjuk, hogy (az ütközőtől már kicsit eltávolodott) gyöngyre ható (a rúd által kifejtett) kényszererő függőlegesen felfelé mutató komponense

\(\displaystyle F(t)=m\theta_0^2 \omega^2 d \sin^2(\omega t).\)

Ha ennek egy periódusra vett átlagértéke nagyobb, mint \(\displaystyle mg\), akkor a gyöngy lerepül. Mivel \(\displaystyle \sin^2(\omega t)\) átlagértéke 1/2 (lásd pl. a váltóáram effektív értékénél alkalmazott gondolatmenetet), a lerepülés feltétele:

\(\displaystyle f>\frac1{2\pi}\sqrt{\frac{2g}{\theta_0^2d}}=\sqrt2\cdot f_\text{naiv}. \)

Statisztika:

37 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:	Asztalos Bogdán, Balogh Menyhért, Bekes Nándor, Blum Balázs, Forrai Botond, Jakus Balázs István, Sal Kristóf, Szépfalvi Bálint, Tomcsányi Gergely.
4 pontot kapott:	Juhász 326 Dániel, Páhoki Tamás, Szentivánszki Soma .
3 pontot kapott:	20 versenyző.
2 pontot kapott:	3 versenyző.
1 pontot kapott:	2 versenyző.

A KöMaL 2015. novemberi fizika feladatai