Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Informatika rovattal
Kiadja a MATFUND Alapítvány
Már regisztráltál?
Új vendég vagy?

A P. 4811. feladat (2016. február)

P. 4811. \(\displaystyle A=10~{\rm cm}^2\) keresztmetszetű hengerben \(\displaystyle m=2~{\rm kg}\) tömegű dugattyú \(\displaystyle \ell= 30~{\rm cm}\) hosszú levegőoszlopot zár el. A külső és a belső nyomás egyaránt \(\displaystyle p_0=10^5\) Pa. A cső függőleges tengely körül foroghat. Álló helyzetben a dugattyú közepe a tengelytől \(\displaystyle r= 0{,}5\) m távolságra van.

\(\displaystyle a)\) Hányszorosára változik a bezárt gáz sűrűsége, ha a csövet \(\displaystyle \omega=3~{\rm s}^{-1}\) szögsebességgel forgatjuk?

\(\displaystyle b)\) Forgás közben mekkorára kellene lecsökkennie a külső nyomásnak ahhoz, hogy a dugattyú az eredeti helyzetébe kerüljön vissza?

A hőmérséklet mindvégig állandó.

Szegedi Ervin (1956-2006) feladata

(4 pont)

A beküldési határidő 2016. március 10-én LEJÁRT.


Megoldás. \(\displaystyle a)\) Ha a dugattyú \(\displaystyle x\) távolsággal elmozdul a csőben (eltávolodik a tengelytől), akkor a bezárt levegő térfogata \(\displaystyle (\ell-x)/\ell\) arányban lecsökken, az izotermikusan összenyomódott levegő nyomása tehát \(\displaystyle p_0\ell/(\ell-x)\) lesz. Másrészt a dugattyű tömegközéppontja \(\displaystyle a=(r+x)\omega^2\) gyorsulással mozog, tehát a mozgásegyenlet így írható fel:

\(\displaystyle m(r+x)\,\omega^2=Ap_0\left(\frac{\ell}{\ell-x}-1\right),\)

vagyis

\(\displaystyle (r+x)(\ell-x)=\frac{Ap_0}{m\omega^2} x.\)

Ennek a másodfokú egyenletnek (fizikailag reális, stabil helyzetnek megfelelő) megoldása: \(\displaystyle x=2{,}6~\)cm. Az ennek megfelelő helyzetben a bezárt levegő sűrűsége 9,5 százalékkal nagyobb, mint a forgatás előtti érték.

\(\displaystyle b)\) A forgó hengerben a dugattú akkor maradhat az eredeti helyzetében, ha a külső légnyomás \(\displaystyle p_0\) értékére fennáll:

\(\displaystyle mr\omega^2=A\left(p_0-p_1\right).\)

A megadott számadatok mellett ez \(\displaystyle p_1=91~\)kPa nyomásnál teljesül.


Statisztika:

71 dolgozat érkezett.
4 pontot kapott:53 versenyző.
3 pontot kapott:10 versenyző.
2 pontot kapott:5 versenyző.
1 pontot kapott:2 versenyző.
0 pontot kapott:1 versenyző.

A KöMaL 2016. februári fizika feladatai