Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Informatika rovattal
Kiadja a MATFUND Alapítvány
Már regisztráltál?
Új vendég vagy?

A P. 4836. feladat (2016. április)

P. 4836. Két egyforma tömegű, homogén tömegeloszlású rudat az ábrán látható módon egy függőleges fal mellett (fekvő helyzetben) óvatosan egymás tetejére helyezünk, majd elengedjük azokat. Mekkora lesz a rudak legnagyobb sebességének aránya, ha a felső rúd sugara csak egy hajszálnyival kisebb az alsóénál? (A súrlódás mindenhol elhanyagolhatóan kicsi.)

Példatári feladat nyomán

(5 pont)

A beküldési határidő 2016. május 10-én LEJÁRT.


Megoldás. Jelöljük a rudak tömegét \(\displaystyle m\)-mel, sugarukat \(\displaystyle R\)-rel. (A két sugarat egyforma nagynak tekintjük, a hajszálnyi különbség csak amiatt fontos, hogy a felső rúd ne tudjon az alsón ,,átbillenni''.)

1. ábra

A rudak -- súrlódás hiányában -- nem jönnek forgásba, pillanatnyi helyzetüket egyértelműen meghatározza az 1. ábrán látható \(\displaystyle \varphi\) szög:

\(\displaystyle x=R(1+2\sin\varphi), \qquad y=R(1+2\cos\varphi).\)

Ha \(\displaystyle \omega\) jelöli a \(\displaystyle \varphi\) szög növekedési ütemét (szögsebességét), \(\displaystyle \beta\) pedig a szögsebesség időegységre eső megváltozását (a szöggyorsulást), akkor \(\displaystyle x(t)\)-hez és \(\displaystyle y(t)\)-hez tartozó sebességek és gyorsulások így fejezhetők ki velük (2. ábra):

\(\displaystyle v_x=2R\omega \cos\varphi, \qquad v_y=-2R\omega \sin\varphi,\)

illetve

\(\displaystyle a_x=2R(\beta \cos\varphi-\omega^2 \sin\varphi), \qquad a_y=-2R (\beta\sin\varphi+\omega^2\cos\varphi).\)

2. ábra

A megfeleltetés alapja a rögzített tengely körüli forgómozgással való hasonlóság. Ha az \(\displaystyle O\) pontot rögzítettnek gondoljuk, akkor a körülötte \(\displaystyle \omega\) szögsebességgel és \(\displaystyle \beta\) szöggyorsulással forgó \(\displaystyle P\) pont érintőleges (tangenciális) sebessége \(\displaystyle v_{\rm t}=2R\omega\), centripetális gyorsulása \(\displaystyle a_{\rm cp}=2R\omega^2\), tangenciális gyorsulása pedig \(\displaystyle a_{\rm t}=2R\beta\). Ezekből a \(\displaystyle P\) pont vízszintes irányú sebességére és gyorsulására éppen a fentebb megadott \(\displaystyle v_x\) éa \(\displaystyle a_x\) adódik. Igaz ugyan, hogy az \(\displaystyle O\) pont nem rögzített, hanem függőleges irányban mozog, tehát függőleges sebessége és gyorsulása van, ez azonban nem befolyásolja a \(\displaystyle P\) pont vízszintes irányú mozgásának jellemzőit. Hasonlóan járhatunk el az \(\displaystyle O\) pont függőleges irányú mozgásának leírásánál is, az a rögzítettnek képzelt \(\displaystyle P\) pont körüli forgás képleteiből kapható meg.

Megjegyzés: Természetesen \(\displaystyle v_x\) és \(\displaystyle a_x\) az \(\displaystyle x[\varphi(t)]\) közvetett függvény \(\displaystyle t\) szerinti deriválásával is meghatározható, és hasonlóan \(\displaystyle v_y\) és \(\displaystyle a_y\) is megkapható az \(\displaystyle y[\varphi(t)]\) függvényt deriválva.

A \(\displaystyle \varphi\) szög növekedtével a rudak között ható erő fokozatosan csökken, és lesz egy olyan pillanat, amikor ez az erő nullává válik. Ekkor a két rúd elválik egymástól, és a továbbiakban az alsó rúd egyenletes mozgással, a felső pedig szabadseséssel mozog tovább. (Belátható, hogy a felső rúd nem esik vissza az alsóra.) Az elválás pillanatára az jellemző, hogy az alsó rúd gyorsulása nullára csökken, a felső rúd gyorsulása pedig \(\displaystyle -g\) lesz.

Az elválás pillanatához tartozó szöget \(\displaystyle \varphi^*\)-gal jelölve felírhatjuk tehát a következő egyenleteket:

(1)\(\displaystyle \beta\,\cos\varphi^*-\omega^2\sin\varphi^*=0,\)
(2)\(\displaystyle \beta\,\sin\varphi^*+\omega^2\cos\varphi^*= \frac{g}{2R}.\)

Ha ezekhez hozzávesszük még az energia megmaradását kifejező

\(\displaystyle mg\,2R(1-\cos\varphi^*)=\frac12 mv_x^2+\frac12 mv_y^2=2R^2\omega^2,\)

vagyis az

(3)\(\displaystyle \omega^2=\frac{g}R \)

egyenletet, az (1)-(3) egyenletrendszerből \(\displaystyle \cos\varphi^*=\frac23\), vagyis \(\displaystyle \varphi^*\approx 48{,}2^\circ\) adódik.

Az elválás pillanatában az alsó rúd vízszintes irányú sebessége (ami a továbbiakban már nem növekszik):

\(\displaystyle v_x^{\rm (max)}=2R\omega\,\cos\varphi^*=\sqrt{\frac{16}{27}gR}.\)

A másik (felső) rúd sebessége egészen a földetérés pillanatáig növekszik, legnagyobb értéke az energiamegmaradás törvényéből számolható:

\(\displaystyle mg\,2R=\frac{1}{2}mv_x^{\rm (max)}+\frac{1}{2}mv_y^{\rm (max)},\)

ahonnan

\(\displaystyle v_y^{\rm (max)}=\sqrt{\frac{92}{27}gR}.\)

A keresett arányszám ezek szerint:

\(\displaystyle \frac{v_x^{\rm (max)}}{v_y^{\rm (max)}}={\frac2{\sqrt{23}}}\approx 0{,}42. \)


Statisztika:

20 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:Asztalos Bogdán, Balogh Menyhért, Bekes Nándor, Di Giovanni András, Fekete Balázs Attila, Forrai Botond, Ghada Alshalan, Iván Balázs, Kasza Bence, Németh 777 Róbert, Páhoki Tamás, Sal Kristóf, Tófalusi Ádám, Tomcsányi Gergely.
3 pontot kapott:4 versenyző.
2 pontot kapott:2 versenyző.

A KöMaL 2016. áprilisi fizika feladatai