Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Informatika rovattal
Kiadja a MATFUND Alapítvány
Már regisztráltál?
Új vendég vagy?

A P. 4900. feladat (2017. január)

P. 4900. Érdekes optikai játék két egymással szembefordított, azonos görbületi sugarú, homorú gömbtükör, melyek közül a felső tükör közepén egy néhány centiméter átmérőjű, kör alakú lyuk van. A tükrök olyan távolságra vannak egymástól, hogy az alsó tükör közepére tett kicsiny tárgy (például egy szem cukor) képe a lyukas tükör közepén jelenik meg, miután a tárgyról induló fénynyaláb előbb a felső, azután az alsó tükörről is egyszer visszaverődött.

\(\displaystyle a)\) Milyen messze lehet egymástól a két tükör közepe?

\(\displaystyle b)\) Egyenes vagy fordított állású, valódi vagy látszólagos a megjelenő kép, és mekkora a nagyítás?

Közli: Radnai Gyula, Budapest

(5 pont)

A beküldési határidő 2017. február 10-én LEJÁRT.


Megoldás. \(\displaystyle a)\) Jelöljük a tükrök fókusztávolságát \(\displaystyle f\)-fel, az optikai tengely mentén mért távolságukat pedig \(\displaystyle d\)-vel. A felső tükör a \(\displaystyle t_1=d\) távol lévő tárgyról a leképezési törvény szerint

\(\displaystyle k_1=\frac{df}{d-f}\)

távolságban alkot (valódi vagy látszólagos) képet. Ez a kép az alsó tükörtől

\(\displaystyle t_2=d-k_1=\frac{d(d-2f)}{d-f}\)

távol lévő tárgynak tekinthető, amelynek a képe (az alsó tükör felett)

\(\displaystyle k_2=\frac{t_2f}{t_2-f}=\frac{fd(d-2f)}{d^2-3fd+f^2}\)

magasságban képződik. A megadott feltétel szerint \(\displaystyle k_2=d\), tehát

\(\displaystyle \frac{fd(d-2f)}{d^2-3fd+f^2}=d,\)

vagyis

\(\displaystyle d^2-4df+3f^2=0.\)

Ennek a másodfokú egyenletnek 2 valós gyöke van:

\(\displaystyle d_1=f=\frac12R \qquad \text{és} \qquad d_2=3f=\frac32R.\)

\(\displaystyle b)\) A nagyítás

\(\displaystyle N=\frac{k_1}{t_1}\frac{k_2}{t_2}=\frac{f^2}{d^2-3fd+f^2}.\)

Ha \(\displaystyle d=d_1=f\), akkor a nagyítás \(\displaystyle -1\), tehát a kép fordított állású, ha pedig \(\displaystyle d=d_2=3f\), akkor a nagyítás \(\displaystyle +1\), tehát a kép egyenes állású. Mindkét esetben a kép valódi, vagyis ernyővel felfogható, de – megfelelő irányból nézve – szabad szemmel is látható. A képalkotás néhány nevezetes sugármenet segítségével könnyen megszerkeszthető.

A szerkesztésnél használt segédvonalak nem mindegyike felel meg tényleges fénysugárnak, hiszen a felső tükör közepén egy lyuk van. Az alábbi ábrán a tárgy egy (az egyszerűség kedvéért az optikai tengelyen fekvő) pontjából kiinduló fénysugarakat ábrázoltuk a tükrök kétféle beállítása mellett. Látható, hogy az optikai tengely közelében van egy olyan tartomány, ahonnan nézve nem láthatjuk a lyuk közepén keletkező valódi képet (hanem csak az alsó tüköt közepén lévő tárgyat). A furcsa, fent lebegni látszó képet csak kicsit ,,oldalról'' figyelhetjük meg.


Statisztika:

24 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:Fajszi Bulcsú, Fehér 169 Szilveszter, Fekete Balázs Attila, Marozsák Tóbiás , Nagy 555 Botond, Németh 123 Balázs, Németh 777 Róbert, Olosz Adél, Páhoki Tamás, Paulovics Péter, Szentivánszki Soma , Tóth 111 Máté .
4 pontot kapott:Bekes Nándor, Molnár Mátyás, Varga-Umbrich Eszter.
3 pontot kapott:7 versenyző.
2 pontot kapott:2 versenyző.

A KöMaL 2017. januári fizika feladatai