A P. 4926. feladat (2017. március)

P. 4926. Jól vezető fémlemezekből készült, nagy méretű sarok (ún. derékszögű triéder) mindhárom síkjától egyenlő távol lévő, a sarok csúcsától \(\displaystyle R=60\) cm távolságban található pontból elengedünk egy elektront vákuumban. Mennyi idő alatt esik az elektron a sarokba?

Közli: Gáspár Merse Előd, Budapest

(6 pont)

A beküldési határidő 2017. április 10-én LEJÁRT.

Megoldás. Az elektron olyan töltésmegosztást hoz létre a fémlemezekben, hogy mindegyik lemez ugyanakkora (nullának választható) potenciálú legyen. A kialakuló elektromos erőtér a lemezek által határolt (az ábrán látható, a fémlemezek síkjaihoz illesztett koordináta-rendszerben \(\displaystyle x>0, y>0, z>0\) módon megadott) térnyolcadban olyan lesz, mintha a másik 7 térnyolcadban az elektron pillanatnyi helyének ,,tükörkép-pontjaiban'' egy-egy – váltakozó előjelű – tükörtöltés lenne. Ezek a tükörtöltések az elektronnal együtt mozogva folyamatosan változó nagyságú erőt fejtenének ki az elektronra, ez határozza meg annak mozgását.

Megjegyzés. Ha az elektron valamelyik síktól \(\displaystyle r\) távol van, akkor a tükörtöltés által kifejtett vonzóerő

\(\displaystyle F(r)=k\frac{e^2}{(2r)^2}\)

nagyságú (\(\displaystyle e\) az elemi töltés). Ha például \(\displaystyle r<60\) cm, akkor \(\displaystyle F\) legalább 30-szor nagyobb, mint az elektronra ható \(\displaystyle mg\) gravitációs erő. Emiatt a feladat további részében a gravitációs erőt figyelmen kívül hagyjuk.

Az elektronra ható elektrosztatikus erők eredője a szimmetria miatt mindig a sarok felé mutat, így elegendő a 7 tükörtöltés által kifejtett erőnek ilyen irányú vetületét kiszámítani. Ha az elektron \(\displaystyle r\) távol van a sarokponttól, az eredő erő nagysága:

\(\displaystyle F(r)=k\frac{e^2}{r^2}\left(-\frac{3\sqrt{3}}{4}+\frac{3\sqrt{3}}{4\sqrt{2}}-\frac{1}{4} \right)\approx -0{,}63k\frac{e^2}{r^2}. \)

Ugyanekkora erőt fejtene ki az elektronra egy \(\displaystyle Q=+0{,}63\,e\) töltésű, az origóban rögzített pontszerű test is.

Megjegyzés. A fenti erő képletét úgy is megkaphatjuk, hogy az erővektorok összegzése helyett kiszámítjuk a valódi töltés és a tükörtöltések közötti Coulomb-energiát, és ennek a térnyolcadra eső (1/8)-át egyenlővé tesszük a \(\displaystyle Q\) nagyságú ponttöltés \(\displaystyle -kQe/r\) Coulomb-energiájával.

A \(\displaystyle Q\) töltés erőterében az \(\displaystyle m\) tömegű elektron egyre növekvő gyorsulással zuhan a sarokpont felé. A mozgásegyenlet ugyanolyan alakú, mint a Nap körül keringő bolygók vagy egy (a Napot nagyon megközelítő, elnyújtott ellipszispályán mozgó) üstökös mozgásegyenlete, emiatt itt is alkalmazhatók Kepler törvényei. Az elektron pályája egy olyan ,,elfajult'' ellipszisként is felfogható, amelynek nagytengelye \(\displaystyle R\), kistengelye pedig közel nulla. Az origóba zuhanás keresett \(\displaystyle T\) ideje ezen ellipszispályához tartozó \(\displaystyle T_0\) keringési idő fele.

Másrészt (Kepler III. törvényéből) tudjuk, hogy egy \(\displaystyle R/2\) sugarú körpályán (vagyis \(\displaystyle R\) nagytengelyű ellipszisen) a \(\displaystyle Q\) ponttöltés körül keringő elektron periódusideje ugyanekkora:

\(\displaystyle m\frac{R}{2}\left( \frac{2\pi}{T_0} \right)^2=k\frac{Qe}{\left(\frac{R}{2} \right)^2},\)

ahonnan a keresett esési idő:

\(\displaystyle T=\frac{1}{2}T_0=\sqrt{\frac{mR^3\pi^2}{8\cdot 0{,}63\,k e^2}}\approx 4\cdot10^{-2}~\rm s.\)

Statisztika:

18 dolgozat érkezett.
6 pontot kapott:	Bekes Nándor, Elek Péter, Fehér 169 Szilveszter, Fekete Balázs Attila, Jakus Balázs István, Marozsák Tóbiás , Nagy 555 Botond, Olosz Adél, Szentivánszki Soma , Tófalusi Ádám.
5 pontot kapott:	Di Giovanni András, Krasznai Anna, Osváth Botond, Páhoki Tamás.
4 pontot kapott:	2 versenyző.
3 pontot kapott:	1 versenyző.
0 pontot kapott:	1 versenyző.

A KöMaL 2017. márciusi fizika feladatai