 |
A P. 4979. feladat (2017. november) |
P. 4979. A súlytalanság állapotában egy \(\displaystyle R\) sugarú, \(\displaystyle \alpha\) felületi feszültségű higanycsepp lebeg. Ha a cseppet gyenge, \(\displaystyle E_0\) térerősségű, homogén elektromos térbe helyezzük, a csepp a térerősség irányában kissé megnyúlik, alakja forgási ellipszoiddal közelíthető. Adjunk becslést, mekkora lesz a megnyúlt higanycsepp hossza.
Közli: Vigh Máté, Budapest
(6 pont)
A beküldési határidő 2017. december 11-én LEJÁRT.
Megoldás. Az elektromos tér megosztást hoz létre a higanycseppben, annak felületére töltések ülnek ki. A külső tér a felületi töltésekre ,,kifelé'' mutató erőket fejt ki, és ezek az erők addig deformálják a cseppet, amíg a felületi feszültségből származó erők egyensúlyba nem kerülnek az elektromos erőkkel.
A fentebb vázolt kvalitatív képet próbáljuk meg számszerűsíthető becsléssé finomítani. Első tájékozódáshoz már az egyszerű dimenzionális megfontolások is elegendőek. A csepp megnyúlása (jelöljük ezt \(\displaystyle 2\Delta R\)-rel) az elektromos térerősségtől, a felületi feszültségtől és a csepp sugarától függhet, és a képletében megjelenhet még a vákuum dielektromos állandója:
\(\displaystyle 2\Delta R=f(E_0, \alpha, R,\varepsilon_0).\)
A megnyúlás \(\displaystyle E_0\)-nak páros függvénye (hiszen az elektromos tér irányától nem függ), ezért csak \(\displaystyle E_0^2\)-től függ. Mivel erőtérmentes esetben a megnyúlás nulla, és a külső tér gyenge, feltételezhetjük, hogy \(\displaystyle \Delta R\sim E_0^2.\)
Keressük a megnyúlást
\(\displaystyle f=\text{állandó}\cdot \left(E_0^2\right) \cdot \alpha^x\left(\varepsilon_0\right)^y \cdot R^z\)
alakban, ahol az állandó, valamint az \(\displaystyle x,y \) és \(\displaystyle z\) kitevők dimenziótlan számok. Figyelembe véve a fellépő mennyiségek dimenzióját, felírhatjuk, hogy
\(\displaystyle {\rm m}= \frac{\rm N^2}{\rm C^2} \cdot \left(\frac{\rm N}{\rm m}\right)^x\cdot \left( \frac{\rm C^2}{\rm N\,m^2}\right)^y \cdot {\rm m}^z.\)
A neweton, a coulomb és a méter dimenziókat összeszámolva kapjuk, hogy \(\displaystyle x=-1\), \(\displaystyle y=1\) és \(\displaystyle z=2\), tehát a csepp megnyúlása:
\(\displaystyle 2\Delta R=\text{állandó}\cdot \frac{\varepsilon_0E_0^2}{\alpha}R^2.\)
A fenti képletben szereplő állandó számszerű értékének pontosításához részletesebb (az erők egyensúlyát vizsgáló) megfontolásokra van szükség. Közelíthetjük például a cseppet egy \(\displaystyle a=R+\Delta R\) nagytengelyű (forgástengelyű), \(\displaystyle b=R-\tfrac12 \Delta R\) kistengelyű forgási ellipszoiddal. Feltehetjük (hiszen a külső tér gyenge), hogy a csepp csak kicsit tér el a gömbtől, vagyis a \(\displaystyle \lambda=\frac{\Delta R}{R}\) mennyiség sokkal kisebb 1-nél. Ennek az ellipszoidnak a térfogata
\(\displaystyle V=\frac{4\pi}{3}ab^2=\frac{4R^3\pi}{3}(1+\lambda)(1-\tfrac{1}{2}\lambda)^2\approx \frac{4R^3\pi}3,\)
összhangban azzal, hogy a higany jó közelítéssel összenyomhatatlan folyadék.
A deformált higanycsepp görbületi nyomása a nagytengely végpontjaiban
\(\displaystyle p_1=2\alpha\frac{ a}{b^2}=\frac{2\alpha}{R} \frac{1+\lambda}{(1-\tfrac12 \lambda)^2}\approx \frac{2\alpha}{R}\left(1+2\lambda\right).\)
Hasonló módon a görbületi nyomás a kistengely végpontjaiban
\(\displaystyle p_2= \alpha\left(\frac{b}{a^2}+\frac{1}{b}\right)\approx \frac{2\alpha}{R} (1-\lambda).\)
A két nyomás közötti különbség:
\(\displaystyle p_1-p_2=6\lambda\frac{\alpha}{R}.\)
Másrészt kiszámíthatjuk, hogy a homogén elektromos térbe helyezett gömb felülete mentén az elektromos térerősség nulla és \(\displaystyle E=3E_0\) között változik. (A gömbön kívül olyan az elektromos mező, mintha a homogén térhez egy alkalmasan választott erősségű dipólus terét adnánk hozzá.) Az elektromos mező által létrehozott felületi töltéssűrűség \(\displaystyle \varepsilon_0E\), az ebből származó húzófeszültség (negatív nyomás) pedig \(\displaystyle \tfrac12\varepsilon_0E^2\). Ez a cseppnek a külső tér irányába eső tengelyének végpontjaiban \(\displaystyle \tfrac92\varepsilon_0E_0^2\), az erre merőleges tengelyek végpontjaiban pedig nulla.
A nyomáskülönbségeket a görbületi nyomások különbségével egyenlővé téve a
\(\displaystyle 6\lambda\frac{\alpha}{R}=\frac92\varepsilon_0E_0^2 \)
összefüggés adódik, ahonnan a csepp megnyúlására a
\(\displaystyle 2\Delta R=2\lambda R=\frac{3}{2}\cdot\frac{\varepsilon_0E_0^2}{\alpha}R^2 \)
eredmény adódik.
Belátható, hogy a csepp alakja kis deformáció esetén (\(\displaystyle \lambda\) magasabb hatványainak elhanyagolásával) valóban forgási ellipszoid, és ha a megnyúlás a fentebb megadott érték, akkor az erők egyensúlya nemcsak az ellipszoid tengelyeinek végpontjánál, hanem a felület minden pontjánál teljesül.
Statisztika:
9 dolgozat érkezett. 6 pontot kapott: Elek Péter, Marozsák Tóbiás , Olosz Adél, Tófalusi Ádám. 4 pontot kapott: 3 versenyző. 3 pontot kapott: 2 versenyző.
A KöMaL 2017. novemberi fizika feladatai