Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Informatika rovattal
Kiadja a MATFUND Alapítvány
Már regisztráltál?
Új vendég vagy?

A P. 5026. feladat (2018. április)

P. 5026. Egy \(\displaystyle m\) tömegű és \(\displaystyle R\) sugarú, vékony gyűrűt kétféleképpen hozunk kis kitérésű lengésbe. Az egyik esetben egy \(\displaystyle r\) sugarú, vízszintes tengelyű hengerre fűzzük fel a gyűrűt, kissé kitérítjük, majd elengedjük. A másik esetben egy \(\displaystyle r\) hosszúságú, elhanyagolható tömegű, vékony tűt ragasztunk a gyűrűbe úgy, hogy a tű a gyűrű közepe felé mutasson, és a gyűrű erre a tűre támaszkodjon lengés közben. A gyűrű mindkét esetben síkmozgást végez.

Melyik esetben hosszabb a lengésidő?

Közli: Radnai Gyula, Budapest

(5 pont)

A beküldési határidő 2018. május 10-én LEJÁRT.


Megoldás. A tű hegye körül elforduló gyűrű egy fizikai inga, amelynek lengésideje (kis kitérések esetén)

\(\displaystyle T_1=2\pi\sqrt{\frac{ mR^2+m(R-r)^2}{mg(R-r)}}=2\pi\sqrt{\frac{ 2R^2+r^2-2rR}{ g(R-r)}}.\)

A hengeren csúszásmentesen gördülő gyűrű mozgása bonyolultabb, hiszen a pillanatnyi forgástengely (a karika és a henger \(\displaystyle A\) érintkezési pontja) pillanatról pillanatra változó helyen található. Jelöljük a gyűrű \(\displaystyle A\) körüli szögsebességét \(\displaystyle \Omega_A\)-val! A gyűrű mozgási energiája ekkor

\(\displaystyle E_\text{mozgási}=\frac{1}{2}I_A\Omega_A^2,\)

ahol a Steiner-tétel szerint \(\displaystyle I_A=2mR^2\).

Fejezzük ki a mozgási energiát a henger (időben állandó helyzetű) \(\displaystyle P\) ,,középpontja'' körüli elfordulás \(\displaystyle \Omega_P\) szögsebessége segítségével! Mivel a gyűrű \(\displaystyle K\) középpontjának sebessége kétféle módon is felírható:

\(\displaystyle v_K=R\Omega_A=(R-r)\Omega_P,\)

tehát

\(\displaystyle \Omega_A=\frac{R-r}{R}\Omega_P,\)

és így a mozgási energia

\(\displaystyle E_\text{mozgási}=m(R-r)^2\Omega_P^2.\)

Ha az \(\displaystyle AK\) egyenes \(\displaystyle \varphi\) szöget zár be a függőlegessel, akkor a karika gravitációs helyzeti energiája

\(\displaystyle E_\text{helyzeti}=mg(R-r)(1-\cos\varphi)=mg(R-r)\cdot 2\sin^2\frac{\varphi}{2}\approx mg(R-r)\frac{\varphi^2}{2}.\)

Tudjuk továbbá, hogy

\(\displaystyle \Omega_P=\frac{\Delta\varphi}{\Delta t},\)

vagyis \(\displaystyle \Omega_P\) az időben változó \(\displaystyle \varphi(t)\) változási sebessége (deriváltja).

A harmonikus rezgőmozgás képleteit használva felírhatjuk:

\(\displaystyle \varphi(t)=\varphi_\text{max} \sin\omega t,\)

\(\displaystyle \Omega_P(t)=\varphi_\text{max} \omega \cos\omega t,\)

ahol \(\displaystyle \omega=2\pi/T\) (\(\displaystyle T\) a rezgés periódusideje).

Ezek ismeretében megadhatjuk a helyzeti és a mozgási energia időbeli változásának képleteit:

\(\displaystyle E_\text{helyzeti}(t)= \frac{1}{2}mg(R-r) \varphi_\text{max}^2\sin^2(\omega t), \)

\(\displaystyle E_\text{mozgási}(t)= m(R-r)^2\omega^2 \varphi_\text{max}^2\cos^2(\omega t), \)

A gyűrű teljes energiája időben állandó mennyiség:

\(\displaystyle E=E_\text{helyzeti}(t)+E_\text{mozgási}(t)=\text{állandó}+\frac{1}{2}mg(R-r) \varphi_\text{max}^2\cos^2(\omega t)\left[\frac{2\omega^2(R-r)}{g}-1\right]. \)

Ez az energia akkor nem függ az időtől, ha a szögletes zárójelben álló kifejezés nulla, vagyis

\(\displaystyle \omega=\sqrt{\frac{g}{2(R-r)}},\)

és így a ,,gördüléses rezgőmozgás'' periódusideje

\(\displaystyle T_2=2\pi\frac{2(R-r)}{g}.\)

Megmutatjuk, hogy \(\displaystyle T_1>T_2\), tehát a tű csúcsán billegő gyűrű lengésideje nagyobb, mint a gördülő gyűrűé. Valóban (a fizikailag megvalósítható \(\displaystyle 0<r<R\) tartományban)

\(\displaystyle \left(\frac{T_1}{T_2}\right)^2=\frac{2R^2+r^2-2Rr}{2(R-r)^2 } = 1+\frac{r(2R-r)}{2(R-r)^2}>1. \)


Statisztika:

22 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:Elek Péter, Marozsák Tóbiás , Olosz Adél, Sal Dávid.
2 pontot kapott:6 versenyző.
1 pontot kapott:10 versenyző.
0 pontot kapott:2 versenyző.

A KöMaL 2018. áprilisi fizika feladatai