A P. 5054. feladat (2018. szeptember)

P. 5054. Egy \(\displaystyle M\) nyugalmi tömegű, kezdetben álló atommag képes elnyelni egy \(\displaystyle hf\) energiájú gamma-kvantumot. Határozzuk meg, hogy mekkora az atommag gerjesztési energiája (vagyis a nyugalmi energiájának növekedése) ebben a folyamatban!

Közli: Légrádi Imre, Sopron

(5 pont)

A beküldési határidő 2018. október 10-én LEJÁRT.

Megoldás. Ha \(\displaystyle hf\ll Mc^2\), akkor a gerjesztési energia jó közelítéssel \(\displaystyle hf\)-fel egyezik meg. Pontosabb eredményt kapunk, ha figyelembe vesszük, hogy a gerjesztett atommag a gamma-kvantum elnyelésekor \(\displaystyle p=hf/c\) impulzusra is szert tesz, amihez \(\displaystyle p^2/(2M)\) mozgási energia tartozik. (Itt a mozgási energia nemrelativisztikus képletét alkalmaztuk, és a képletben nem vettük figyelembe az \(\displaystyle M\) tömeg megváltozását.) Az energia mérlegegyenlete ebben a közelítésben:

\(\displaystyle Mc^2+hf=(M+\Delta M)c^2+\frac{(hf)^2}{2Mc^2},\)

ahonnan a gerjesztési energia:

\(\displaystyle \Delta E= {c^2}{\Delta M}=hf\left(1-\frac{hf}{2Mc^2}\right).\)

Amennyiben \(\displaystyle hf\) összemérhető \(\displaystyle Mc^2\)-tel, akkor a relativisztikus energia- és impulzusképletet kell alkalmaznunk. A meglökött, gerjesztett atommag teljes energiája és impulzusa a laboratóriumi rendszerben:

\(\displaystyle E'=Mc^2+hf,\qquad p'=\frac{hf}{c},\)

a nyugalmi tömege pedig

\(\displaystyle M'=\sqrt{\left(\frac{E' }{c^2}\right)^2-\left(\frac{p' }{c}\right)^2}=M\sqrt{1+\frac{2hf}{Mc^2}}.\)

A nyugalmi tömeg növekedésének megfelelő gerjesztési energia:

\(\displaystyle \Delta E=(M'-M)c^2=Mc^2\left( \sqrt{1+\frac{2hf}{Mc^2}}-1\right).\)

Amennyiben a fenti négyzetgyökjel alatti kifejezés közel 1, akkor a

\(\displaystyle \sqrt{1+\varepsilon}\approx 1+\frac{\varepsilon}{2}-\frac{\varepsilon^2}{8}\)

közelítő képlet alkalmazásával visszakapjuk a nemrelativisztikus

\(\displaystyle \Delta E\approx hf\left(1-\frac{hf}{2Mc^2}\right)\)

eredményt.

Statisztika:

28 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:	Andorfi István, Arhaan Ahmad, Bokor Endre, Bonifert Balázs, Bukor Benedek, Csépányi István, Elek Péter, Fülöp Sámuel Sihombing, Kondákor Márk, Makovsky Mihály, Markó Gábor, Molnár Mátyás, Morvai Orsolya, Olosz Adél, Sal Dávid, Toronyi András, Turcsányi Ádám, Varga Vázsony.
4 pontot kapott:	Kertész Balázs, Lipták Gergő, Schäffer Bálint, Székely Bálint.
3 pontot kapott:	3 versenyző.
2 pontot kapott:	1 versenyző.
1 pontot kapott:	2 versenyző.

A KöMaL 2018. szeptemberi fizika feladatai