Problem P. 5056. (October 2018)
P. 5056. A spring with negligibly small mass and of spring constant 40 N/m is standing on the tabletop in a vertical position, and on its top there is a sheet, which also has negligible mass. A 0.2 kg small object is dropped to the sheet from a height of 0.4 m, measured from the level of the sheet. For how long will the small object be on the sheet if it does not stick to it?
(5 pont)
Deadline expired on November 12, 2018.
Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation
Megoldás. Jelöljük a rugóállandót \(\displaystyle D\)-vel, a kis test tömegét \(\displaystyle m\)-mel, az ejtési magasságot pedig \(\displaystyle h\)-val!
A kis test \(\displaystyle v_0=\sqrt{2gh}=2{,}8~\rm m/s\) sebességgel érkezik a rugón lévő lemezre, és onnan (a lemez elhanyagolható tömege miatt) ugyancsak \(\displaystyle v_0\) sebességgel haladva kezdi összenyomni a rugót.
A kis test a rugó \(\displaystyle x_0\) nagyságú összenyomódása mellett lehetne egyensúlyban, ahol
\(\displaystyle x_0=\frac{mg}{D}=0{,}049~\rm m.\)
Mérjük a kis test elmozdulását az egyensúlyi helyzettől függőlegesen felfelé, és az időmérés kezdőpontját válasszuk meg úgy, hogy a rezgést egy koszinuszfüggvény írja le. A mozgásegyenlet:
\(\displaystyle ma=-mg-\left(x-\frac{mg}{D}\right)D=-Dx,\)
amelynek megoldása:
\(\displaystyle x(t)=A\cos\omega t,\)
ahol
\(\displaystyle \omega=\sqrt{\frac{D}{m}}=14{,}1~\rm s^{-1}\)
a rezgés körfrekvenciája.
A kis test és a lemez érintkezésének pillanatában:
\(\displaystyle x_0=A\cos(\omega t_0),\)
\(\displaystyle -v_0=-A\omega\sin(\omega t_0).\)
Innen \(\displaystyle t_0\) kiküszöbölhető:
\(\displaystyle x_0^2+\frac{v_0^2}{\omega^2}=A^2,\)
vagyis a rezgés amplitúdója:
\(\displaystyle A=\sqrt{ \frac{ g^2}{\omega^4} +\frac{2gh}{\omega^2 }}\approx 0{,}20~\rm m.\)
Ugyanezt az eredményt az energiamegmaradás
\(\displaystyle mg(h+x_0+A)=\frac{1}{2}D(x_0+A)^2\)
törvényéből is kiszámíthatjuk.
A \(\displaystyle t_0\) időtartam a
\(\displaystyle \tg (\omega t_0)=\frac{v_0}{x_0\omega}\approx 4{,}05\)
egyenlet alapján kb. \(\displaystyle 0{,}09~\rm s\), és az ütközés ideje (vagyis az az időtartam, amíg a rugó összenyomott állapotban van)
\(\displaystyle \Delta t=T-2t_0=0{,}26~\rm s.\)
Statistics:
79 students sent a solution. 5 points: Andorfi István, Békési Ábel, Bokor Endre, Csépányi István, Debreczeni Tibor, Fiam Regina, Fülöp Sámuel Sihombing, Girus Kinga, Hartmann Alice, Hisham Mohammed Almalki, Jánosik Áron, Kupás Lőrinc, Laposa Hédi, Lipták Gergő, Mácsai Dániel, Makovsky Mihály, Marozsák Tádé, Máth Benedek, Merkl Gergely, Merkl Levente, Németh Csaba Tibor, Németh Kristóf, Olosz Adél, Pácsonyi Péter, Sal Dávid, Schrott Márton, Tafferner Zoltán, Tiefenbeck Flórián, Toronyi András, Turcsányi Máté, Vass Bence, Vaszary Tamás, Viczián Anna. 4 points: Köpenczei Csenge, Markó Gábor, Schneider Anna, Székely Bálint. 3 points: 10 students. 2 points: 5 students. 1 point: 12 students. 0 point: 11 students. Unfair, not evaluated: 4 solutionss.
Problems in Physics of KöMaL, October 2018