Problem P. 5058. (October 2018)
P. 5058. A whimsical Alaskan constructor runs a strange adventure park. Inside a very tall iceberg he builds a helical bob sleigh track. The symmetry axis of the helical path is vertical, its diameter is \(\displaystyle d\), and the lead of the path is \(\displaystyle h\). The track starts at the top of the iceberg and at the bottom of the iceberg it ends after a short frictionless bend, in a horizontal, straight path of length \(\displaystyle s\). The path is very long (for the passengers it seems ``infinitely long''), the bobs have neither steering wheel nor brake in them, and they stop just at the end of the horizontal part of the track. (For the sake of simplicity consider the bob sleighs point-like objects.)
\(\displaystyle a)\) What is the coefficient of kinetic friction between the metal body of the bob and the ice?
\(\displaystyle b)\) What is the greatest speed of the bobs?
Data: \(\displaystyle d=10\) m, \(\displaystyle h=1.5\) m, \(\displaystyle s=270\) m.
(5 pont)
Deadline expired on November 12, 2018.
Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation
Megoldás. Az \(\displaystyle m\) tömegű bobok a ,,nagyon hosszú'', csavarvonal alakú pályán valamekkora \(\displaystyle v\) nagyságú állandósult sebességgel mozognak. A pálya meredeksége egy \(\displaystyle \alpha\) hajlásszögű lejtő meredekségével egyezik meg, ahol
\(\displaystyle \tg\alpha=\frac{h}{d\pi}.\)
A bob sebességének vízszintes irányú összetevője \(\displaystyle v\cos\alpha\), és a mozgás vízszintes vetülete \(\displaystyle R=d/2\) sugarú egyenletes körmozgás, amit a jégpálya által kifejtett
\(\displaystyle F_1=m\frac{(v\cos\alpha)^2}{R}\)
nagyságú erő biztosít. A jégpálya ezen kívül még
\(\displaystyle F_2=mg\cos\alpha\)
nagyságú, a sebességre és \(\displaystyle {\boldsymbol F}_1\)-re merőleges erőt is kifejt, ez biztosítja, hogy a bob \(\displaystyle \boldsymbol F_2\) irányú (és ezzel együtt a függőleges iurányú) gyorsulása nulla legyen. A pálya által kifejtett nyomóerő \(\displaystyle {\boldsymbol F}_1\) és \(\displaystyle {\boldsymbol F}_2\) vektori összege. Végül a sebességgel ellentétes irányú súrlódási erő
\(\displaystyle S=mg\sin\alpha\)
nagyságú, hiszen (a csavarvonal legnagyobb részén) a bob sebességének nagysága is állandó. A csúszó súrlódás feltétele:
\(\displaystyle mg\sin\alpha=\mu \sqrt{F_1^2+F_2^2},\)
vagyis
| \(\displaystyle (1)\) | \(\displaystyle \tg\alpha=\mu \sqrt{1+\left(\frac{2v^2\cos\alpha}{dg} \right)^2}. \) |
Az egyenes szakaszon a bob \(\displaystyle \mu g\) lassulással mozog, tehát a megállásáig
| \(\displaystyle (2)\) | \(\displaystyle s=\frac{v^2}{2\mu g}\) |
utat tesz meg. Innen a sebességet kifejezve és azt (1)-be helyettesítve az alábbi egyenletet kapjuk:
\(\displaystyle \left(\frac{4s}{d}\cos\alpha \right)^2\mu^4+\mu^2-\tg^2\alpha=0.\)
Ez \(\displaystyle \mu^2\)-re nézve másodfokú egyenlet, melynek megoldása \(\displaystyle \mu=0{,}02\), és (2) szerint a bobok legnagyobb sebessége \(\displaystyle v\approx 10{,}4~{\rm m/s=37~\rm km/h}.\)
Statistics:
43 students sent a solution. 5 points: Csépányi István, Elek Péter, Fekete András Albert, Jánosik Áron, Kupás Lőrinc, Mácsai Dániel, Marozsák Tádé, Máth Benedek, Olosz Adél, Tiefenbeck Flórián, Turcsányi Ádám. 4 points: Bokor Endre, Conrád Márk, Debreczeni Tibor, Fekete Levente, Forgács Kata, Györgyfalvai Fanni, Hervay Bence, Laposa Hédi, Makovsky Mihály, Merkl Gergely, Merkl Levente, Sepsi Csombor Márton, Sümegi Géza, Varga Vázsony, Virág Levente. 3 points: 13 students. 2 points: 3 students. 1 point: 1 student.
Problems in Physics of KöMaL, October 2018