 |
A P. 5059. feladat (2018. október) |
P. 5059. Mennyi idő alatt esik be egy test a Napba, ha a Naptól 50 CSE távolságból, kezdősebesség nélkül indul? Mennyi idő alatt teszi meg a pályája felét?
Némedi István (1932–1998) feladata nyomán
(5 pont)
A beküldési határidő 2018. november 12-én LEJÁRT.
Megoldás. Az egyenesen a Nap felé mozgó test pályája egy olyan ellipszis felével közelíthető (annak határesete), amelynek nagytengelye \(\displaystyle 2a=50\) CSE, kistengelye pedig ehhez képest elhanyagolhatóan kicsi. A Földnél a fél nagytengely 1 CSE, a keringési idő pedig 1 év. Kepler III. törvénye szerint a keringési idő négyzete a fél nagytengely köbével arányos. Ha a (pálya egészéhez képest elhanyagolható méretű) Napba esés ideje \(\displaystyle T\), akkor ez a következőt jelenti:
\(\displaystyle \frac{(2T)^2}{25^3}=1, \qquad \text {vagyis}\qquad T=62{,}5~\text{év}.\)
A pálya feléig (vagyis a Naptól mért 25 CSE távolságig a test valamekkora \(\displaystyle T_0\) idő alatt jut el. Kepler II. törvénye szerint a mozgás bizonyos részének időtartama egyenesen arányos a vezérsugár által súrolt területtel. Nagyítsuk meg az elfajult (majdnem nulla kistengelyű) ellipszist a kistengelye mentén olyan mértékben, hogy az ellipszisből kör jöjjön létre. Ez a nagyítás a súrolt területek arányát nem változtatja meg. Eszerint
\(\displaystyle \frac{T_0}{T}=\frac{\frac{a^2\pi}4+\frac{a^2}{2}}{\frac{a^2\pi}{2}},\)
ahonnan a keresett időtartam:
\(\displaystyle T_0=\left(\frac{1}{2}+\frac{1}{\pi}\right)T=51{,}1~\text{év}.\)
(A mozgás teljes idejének legnagyobb része tehát a pálya első felének megtételéhez szükséges.)
Statisztika:
52 dolgozat érkezett. 5 pontot kapott: Békési Ábel, Bokor Endre, Bonifert Balázs, Boros Máté, Bukor Benedek, Csépányi István, Elek Péter, Erdélyi-Nagy Anna , Fekete András Albert, Fiam Regina, Fülöp Sámuel Sihombing, Gulácsi Máté, Hervay Bence, Jánosdeák Márk, Jánosik Áron, Kozák 023 Áron, Makovsky Mihály, Markó Gábor, Molnár Mátyás, Morvai Orsolya, Olosz Adél, Rozgonyi Gergely, Sal Dávid, Sas 202 Mór, Selmi Bálint, Takács Árpád, Tiefenbeck Flórián, Turcsányi Ádám, Vaszary Tamás, Viczián Anna. 4 pontot kapott: Kupás Lőrinc, Mácsai Dániel. 3 pontot kapott: 8 versenyző. 2 pontot kapott: 5 versenyző. 1 pontot kapott: 2 versenyző. 0 pontot kapott: 4 versenyző. Nem számítjuk a versenybe a születési dátum vagy a szülői nyilatkozat hiánya miatt: 1 dolgozat.
A KöMaL 2018. októberi fizika feladatai