 |
A P. 5094. feladat (2019. január) |
P. 5094. Három, \(\displaystyle L=20~\)cm hosszúságú szigetelőfonál egyik végéhez \(\displaystyle m=1~\)g tömegű, pontszerűnek tekinthető testeket erősítettek, amelyek töltése (egyenként) \(\displaystyle Q=3{,}1\cdot 10^{-7}\) C. A fonalak másik végét közös pontban rögzítették. Kezdetben a feszes fonalak a függőlegessel \(\displaystyle \alpha=30^\circ\)-os szöget zárnak be, és a kis testek egy szabályos háromszöget alkotnak. Ezt követően egyszerre elengedjük a testeket.
\(\displaystyle a)\) Mekkora szöget zárnak be a fonalak a függőlegessel, amikor a testek sebessége maximális?
\(\displaystyle b)\) Mekkora a testek legnagyobb sebessége?
Közli: Zsigri Ferenc, Budapest
(5 pont)
A beküldési határidő 2019. február 11-én LEJÁRT.
I. megoldás. \(\displaystyle a)\) Amikor a testek sebessége maximális, akkor a sebességük nagysága nem változik, tehát a rájuk ható eredő erőnek nincsen a sebességükkel párhuzamos komponense.
Az elrendezés szimmetriája miatt a három test mindig szabályos háromszöget alkot, melynek oldalai
\(\displaystyle \ell=\sqrt{3}L\sin\varphi \)
hosszúságúak, ahol \(\displaystyle \varphi\) a fonalaknak a függőlegessel bezárt szöge. (Kezdetben \(\displaystyle \varphi=\alpha\) és \(\displaystyle \ell=a\).)
Tekintsük az egyik testet, amely \(\displaystyle L\) sugarú körpályán mozog. A testre függőlegesen lefelé \(\displaystyle mg\) nehézségi erő, vízszintes irányban (a másik két test által kifejtett) \(\displaystyle \sqrt{3}kQ^2/\ell^2\) nagyságú elektrosztatikus taszítóerő hat. Ezek eredője a legnagyobb sebességnek megfelelő helyzetben fonál irányú, vagyis
\(\displaystyle mg\sin\varphi=\frac{kQ^2}{\sqrt{3}L^2\sin^2\varphi}\cos\varphi\)
teljesül. Ezt az egyenletet
\(\displaystyle \sin^3\varphi=\lambda\,\cos\varphi\)
alakban is felírhatjuk, ahol
\(\displaystyle \lambda=\frac{kQ^2}{\sqrt{3}mgL^2}=1{,}27.\)
A fenti egyenlet \(\displaystyle x=\tg\varphi\) helyettesítéssel harmadfokú egyenletté alakítható:
\(\displaystyle x^2-1{,}27x^2-1{,}27=0,\)
amelynek egyetlen valós gyöke \(\displaystyle x=1{,}704\), azaz
\(\displaystyle \varphi=59{,}6^\circ\approx 60^\circ.\)
\(\displaystyle b)\) A testek legnagyobb sebességét a rendszer összes (mozgási + gravitációs + elektrosztatikus) energiájának állandóságából határozhatjuk meg.
\(\displaystyle -3mgL\cos\alpha+3\frac{kQ^2}{\sqrt{3}L\sin\alpha}=3\cdot\frac{1}{2}mv^2-3mgL\cos\varphi+3\frac{kQ^2}{\sqrt{3}L\sin\varphi},\)
innen az ismert, illetve már kiszámított adatok behelyettesítése után kapjuk, hogy
\(\displaystyle v=1{,}67~\frac{\rm m}{\rm s}.\)
II. megoldás. Az energiamegmaradás tétele szerint (lásd az I. megoldást)
\(\displaystyle \frac{v^2}{6gL}=\left(\cos\varphi- \frac{\sqrt{3}}{2}\right)+\lambda \left(2-\frac{1}{\sin\varphi}\right) \equiv f(\varphi).\)
\(\displaystyle a)\) A legnagyobb sebességű helyzetben az \(\displaystyle f(\varphi)\) deriváltja eltűnik:
\(\displaystyle -\sin\varphi+\lambda\frac{\cos\varphi}{\sin^2\varphi}=0,\)
melynek numerikus megoldása (lásd pl. www.wolframalpha.com): \(\displaystyle \varphi=\varphi_0=59{,}6^\circ.\)
\(\displaystyle b)\) A maximális sebesség: \(\displaystyle v=\sqrt{2gL\cdot f(\varphi_0)}=1{,}67~\frac{\rm m}{\rm s}.\)
Statisztika:
38 dolgozat érkezett. 5 pontot kapott: Bekes Barnabás, Bokor Endre, Csépányi István, Lipták Gergő, Makovsky Mihály, Molnár Mátyás, Sal Dávid, Tiefenbeck Flórián, Vass Bence (9 versenyző). 4 pontot kapott: Hisham Mohammed Almalki, Jánosik Áron, Keltai Dóra, Marozsák Tádé, Máth Benedek, Merkl Gergely, Morvai Orsolya, Németh Csaba Tibor, Olosz Adél, Pácsonyi Péter, Toronyi András, Vaszary Tamás, Viczián Anna, Zámbori Zalán (14 versenyző). 3 pontot kapott: 13 versenyző. 2 pontot kapott: 2 versenyző.
A KöMaL 2019. januári fizika feladatai