 |
A P. 5129. feladat (2019. április) |
P. 5129. Egy \(\displaystyle r\) sugarú, \(\displaystyle N\) menetszámú, igen hosszú, \(\displaystyle n=N/\ell\) menetsűrűségű szolenoidot az ábrán látható módon egy \(\displaystyle R\ll \ell\) sugarú körvezetővel vettünk körül. Mekkora értéket mutat a szolenoid végpontjai közé kapcsolt ideális voltmérő, ha a körvezetőbe időben egyenletesen, \(\displaystyle I(t)=\alpha\cdot t\) módon változó áramot vezetünk?
Közli: Vigh Máté, Budapest
(5 pont)
A beküldési határidő 2019. május 10-én LEJÁRT.
I. megoldás. Jelöljük a körvezető adatait 1-es, a szolenoidét pedig 2-es indexszel. Ha a körvezetőben egy adott pillanatban \(\displaystyle I_1(t)\) erősségű áram folyik, annak mágneses tere a szolenoidban \(\displaystyle \Phi_2(t)=I_1(t)\,L_{1,2}\) mágneses fluxust hoz létre, ahol \(\displaystyle L_{1,2}\) a két vezető kölcsönös indukciós együtthatója. (A kölcsönös indukciós együttható a vezetékek alakjától és térbeli elhelyezkedésüktől függő, de időben állandó mennyiség.) Ha sikerül meghatározni ezt az együtthatót, akkor a voltmérő által mutatott feszültség nagysága már könnyen megkapható:
\(\displaystyle U_2=\frac{\Delta \Phi_2}{\Delta t}= \frac{\Delta I_1}{\Delta t}L_{1,2}=\alpha\cdot L_{1,2}.\)
A kölcsönös indukciós együttható érdekes tulajdonsága, hogy a szerepek felcserélésére nézve szimmetrikus:
\(\displaystyle L_{1,2}=L_{2,1},\)
vagyis a körvezető egységnyi erősségű árama ugyanakkora mágneses fluxust hoz létre a szolenoidban, mint amekkora fluxust eredményez a szolenoidban folyó egységnyi erősségű áram a körvezetőben. Ez utóbbi elrendezést könnyebb kiszámítani, hiszen ha a szolenoidban \(\displaystyle I_2\) áram folyik, az a szolenoid belsejében homogénnek tekinthető,
\(\displaystyle B=\mu_0\frac{I_2N}{\ell}=\mu_0 n\cdot I_2\)
indukciójú mágneses teret, vagyis
\(\displaystyle \Phi_2=B\,r^2\pi=\mu_0 nr^2\pi\cdot I_2 \)
mágneses fluxust eredményez. Ez a fluxus teljes egészében áthalad az \(\displaystyle R\) sugarú körvezetőn, és mivel \(\displaystyle \ell\gg R\) esetén a szórt mágneses tér kicsi (az erővonalak jó közelítéssel a körvezetőn kívül jutnak vissza a szolenoid egyik végétől a másikig), \(\displaystyle \Phi_2=\Phi_1\), a keresett kölcsönös indukciós együttható:
\(\displaystyle L_{1,2}=L_{2,1}=\mu_0 nr^2\pi,\)
vagyis az ideális voltmérő által mutatott feszültség:
\(\displaystyle U=\mu_0 nr^2\pi\alpha.\)
(Érdekes, hogy \(\displaystyle U\) nem függ a körvezető \(\displaystyle R\) sugarától.)
II. megoldás. Az indukált feszültség közvetlen módon, a szoleniod meneteiben indukálódó feszültségek összegzésével is kiszámítható. Ismert (lásd pl. a ,,Négyjegyű függvénytáblázatok'' 153. old., vagy a Biot–Savart-törvényt), hogy egy \(\displaystyle R\) sugarú körvezető mágneses mezőjének indukcióvektora a kör tengelyében a középponttól \(\displaystyle x\) távolságban
\(\displaystyle B(x)=\frac{\mu_0}{2} \,\frac{R^2}{(R^2+x^2)^{3/2}}I,\)
amit az ábra jelöléseit használva
\(\displaystyle B(\varphi)=\frac{\mu_0}{2R} \,{\cos^3\varphi}I(t)\)
alakban is felírhatunk. Tekintsük most a vékony (\(\displaystyle r\ll R\) sugarú) szolenoidnak azt a darabját, amit a körvezető valamely pontjából \(\displaystyle \varphi\) és \(\displaystyle \varphi+\Delta\varphi\) szögek között látunk. Ennek a szolenoiddarabnak
\(\displaystyle \Delta x\approx \frac{L\Delta\varphi}{\cos\varphi}=\frac{R\Delta\varphi}{\cos^2\varphi}\)
a hossza, és benne \(\displaystyle n\Delta x\) számú, \(\displaystyle r^2\pi\) keresztmetszetű menet található. A teljes szolenoidban indukálódó feszültség \(\displaystyle I(t)=\alpha t\) módon változó áramerősség esetén
\(\displaystyle U=\frac{\Delta\Phi}{\Delta t}= \mu_0 r^2\pi n\alpha \sum \frac{\cos\varphi}{2} \cdot \Delta\varphi.\)
Az összegzés során (mivel a szolenoid ,,igen hosszú'') a \(\displaystyle \varphi\) szög \(\displaystyle -\frac{\pi}{2}\)-től \(\displaystyle +\frac{\pi}{2}\)-ig változik, és ekkor a fenti képletben szereplő összeg számértéke 1. Ezt pl. integrálszámítással láthatjuk be:
\(\displaystyle \sum \frac{\cos\varphi}{2} \cdot \Delta\varphi\approx \int\limits_{-\pi/2}^{+\pi/2}\frac{\cos\varphi}{2}\,{\rm d}\varphi=1.\)
Megjegyzés. Ugyanezt az eredményt elemi úton, egy mechanikai analógia segítségével is megkaphatjuk. Ha egy \(\displaystyle m\) tömegű, pontszerű testet egy \(\displaystyle R\) sugarú, függőleges síkú körvonal mentén mozgatunk a kör legmélyebb pontjától a legmagasabb pontjáig, akkor a test helyzeti energiájának megváltozása:
\(\displaystyle \Delta E_\text{helyzeti}=mg\cdot 2R,\)
és ugyanennyi a test emelése során végzett munka:
\(\displaystyle W=\sum F_\text{érintőleges}\,\Delta s=\sum mg\cos\varphi\cdot R\Delta \varphi=mg\cdot 2R.\)
(\(\displaystyle \varphi\) a test helyzetét jellemző, a vízszintestől mért szög.) Innen \(\displaystyle 2mgR\)-rel való egyszerűsítés után kapjuk, hogy
\(\displaystyle \sum \frac{\cos\varphi}{2} \cdot \Delta\varphi\approx 1,\)
és a közelítés annál pontosabb, minél kisebb részekre osztjuk fel a körvonalat.
III. megoldás. Legyen az \(\displaystyle I(t)\) erősségű árammal átjárt körvezető által létrehozott mágneses indukciónak tengely irányú komponense a szolenoid belsejében \(\displaystyle {B}(x)\) (aminek konkrét alakját nem szükséges ismernünk). A szolenoid \(\displaystyle \Delta x\) hosszúságú darabján \(\displaystyle n\Delta x\) számú, egyenként \(\displaystyle r^2\pi\) területű menet van, az ezeken áthaladó mágneses fluxus tehát \(\displaystyle \Delta \Phi=B(x)nr^2\pi\Delta x\). A szolenoid teljes fluxusa:
\(\displaystyle \Phi=\sum \Delta \Phi=nr^2\pi\cdot\sum B(x)\Delta x.\)
A \(\displaystyle \sum B(x)\Delta x\) összeg (amely a szolenoid egészére terjed ki) kiegészíthető egy ,,visszafelé futó'', a körvezetőn kívül, attól távol záródó görbe menti összeggel, hiszen nagy távolságban a körvezető mágneses tere elhanyagolható. A zárt görbére számított ,,mágneses körfeszültség'' az Ampere-féle gerjesztési törvény szerint \(\displaystyle \mu_0\cdot I(t)\)-vel egyenlő, így a teljes fluxus változási sebessége, vagyis az indukált feszültség:
\(\displaystyle U=\frac{\Delta\Phi}{\Delta t}= \mu_0 r^2\pi n\frac{\Delta I(t)}{\Delta t}= \mu_0 r^2\pi n\alpha.\)
Statisztika:
10 dolgozat érkezett. 5 pontot kapott: Bokor Endre, Elek Péter, Fiam Regina, Olosz Adél, Sal Dávid, Vaszary Tamás. 3 pontot kapott: 2 versenyző. 1 pontot kapott: 1 versenyző. 0 pontot kapott: 1 versenyző.
A KöMaL 2019. áprilisi fizika feladatai