Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Informatika rovattal
Kiadja a MATFUND Alapítvány
Már regisztráltál?
Új vendég vagy?

A P. 5170. feladat (2019. november)

P. 5170. Dörzsöléssel feltöltött, egyforma szívószálak vízszintes síkban, egymással párhuzamosan úgy helyezkednek el, hogy a végeiket összekötő egyenesek merőlegesek a szívószálakra. Feltételezhetjük, hogy a töltések eloszlása a szálakon egyenletes, és mindegyik szívószálnak ugyanakkora a töltése. A két szélső szál rögzített, egymástól való távolságuk jóval kisebb, mint egy szívószál hossza. Közöttük még néhány olyan szívószál helyezkedik el, amelyek szabadon elmozdulhatnak. Hogyan helyezkednek el ezek a szabadon mozgó szálak, ha számuk

\(\displaystyle a)\) kettő;

\(\displaystyle b)\) három?

Közli: Márki-Zay János, Hódmezővásárhely

(5 pont)

A beküldési határidő 2019. december 10-én LEJÁRT.


Megoldás. Az egyenletesen feltöltött, hosszú szigetelő szálak mindegyikének elektromos terében a térerősség (a végek közelét leszámítva) merőleges a szálra és a nagysága a szálaktól mért távolsággal fordítottan arányos. (Ez pl. a Gauss-törvény alkalmazásával láthatjuk be. Feltételezzük, hogy a vízszintes alátámasztás nem befolyásolja a kialakuló erőteret.) Mivel a szálak töltése ugyanakkora, egy-egy pár közötti taszítóerő is a távolságukkal fordítottan arányos, és az arányossági tényező mindegyik párra ugyanakkora.

\(\displaystyle a)\) Legyen a két szélső, rögzített szál távolsága \(\displaystyle d\), egy-egy ,,belső szál'' távolsága a hozzájá közelebbi rögzített száltól pedig \(\displaystyle xd\). Az elrendezés szimmetriája miatt \(\displaystyle x\) mindkét szálra ugyanakkora (1. ábra). Az egyensúlyi állapotban egy-egy belső szálra ható erők eredője nulla, vagyis fennáll:

\(\displaystyle \frac{1}{x}-\frac{1}{1-2x}-\frac{1}{1-x}=0.\)


1. ábra

Innen – algebrai átalakítások után – következik, hogy

\(\displaystyle 5x^2-5x+1=0,\)

aminek (0,5-nél kisebb) megoldása:

\(\displaystyle x_1=\frac{1}{2}-\frac{1}{\sqrt{20}}\approx 0{,}28. \)

A szívószálak tehát kb. 28% : 44% : 28% arányban osztják fel a két szélső szál közötti távolságot.

\(\displaystyle b)\) Hasonló módon járhatunk el a három szabadon mozgó szívószál esetében is. (Ezek is szimmetrikusan fognak elhelyezkedni, ahogy azt a 2. ábra mutatja.)


2. ábra

A megoldandó egyenlet most

\(\displaystyle \frac{1}{x}-\frac{1}{1-2x}-\frac{2}{1-2x}-\frac{1}{1-x}=0.\)

Innen

\(\displaystyle x=\frac{7-\sqrt{21}} {14}\approx 0{,}173\)

következik. A szálak közötti távolságok aránya tehát kb. 17% : 33% : 33% : 17%.


Statisztika:

14 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:Békési Ábel, Takács Árpád, Viczián Anna.
4 pontot kapott:Bonifert Balázs, Fonyi Máté Sándor, Sas 202 Mór, Szabó 314 László, Varga Vázsony.
3 pontot kapott:1 versenyző.
2 pontot kapott:1 versenyző.
1 pontot kapott:3 versenyző.
0 pontot kapott:1 versenyző.

A KöMaL 2019. novemberi fizika feladatai