 |
A P. 5173. feladat (2019. november) |
P. 5173. Egy \(\displaystyle N=2000\) menetes, \(\displaystyle L=5\) H induktivitású, elhanyagolható ohmos ellenállású körtekercs magja nagy mágneses permeabilitású gyűrű. A tekercs végeihez \(\displaystyle R=200~\Omega\)-os ellenállás csatlakozik. A tekercs egyik vége és ettől számított \(\displaystyle N_1=300\)-adik menete közé egy \(\displaystyle U_0=1{,}5\) V feszültségű akkumulátor kapcsolható.
\(\displaystyle a)\) Mekkora áram folyik a tekercs két részén \(\displaystyle t_0=0{,}1\) s-mal a kapcsoló zárása után?
\(\displaystyle b)\) Mekkora energiát ad le az áramforrás \(\displaystyle t_0\) idő alatt, és mire fordítódik ez az energia?
A Kvant nyomán
(6 pont)
A beküldési határidő 2019. december 10-én LEJÁRT.
Megoldás. A kapcsoló zárása előtt a tekercs egyik részében sem folyik áram. A toroidtekercs magjában nulla a mágneses indukció, tehát mágneses fluxus sincs.
A kapcsoló zárását követően az \(\displaystyle N_1\) menetes tekercsben \(\displaystyle I_1(t)\), a toroidtekercs többi részében \(\displaystyle I_2(t)\) áramerősség, a tekercs magjában pedig \(\displaystyle B(t)\) mágneses indukció alakul ki az 1. ábrán látható irányítással. A mágneses fluxus a tekercs magjában \(\displaystyle \Phi(t)=AB(t).\)
1. ábra
A gerjesztési törvény szerint (a tekercs magjában mindenhol) a mágneses indukció
| \(\displaystyle (1)\) | \(\displaystyle B(t)=\mu\frac{N_1I_1-(N-N_1)I_2}\ell\) |
nagyságú, a mágneses fluxus pedig
| \(\displaystyle (2)\) | \(\displaystyle \Phi(t)=B(t)\cdot A=\mu\frac{A}{\ell}\left[N_1\left(I_1+I_2\right)-NI_2\right].\) |
Mivel az egész tekercs önindukciója
| \(\displaystyle (3)\) | \(\displaystyle L=\mu\frac{N^2A}{\ell}\) |
(\(\displaystyle \mu=\mu_0\,\mu_{\rm rel}\gg \mu_0\)), a mágneses fluxus így is felírható:
| \(\displaystyle (4)\) | \(\displaystyle \Phi(t)=\frac{L}{N^2}\left[N_1\left(I_1+I_2\right)-NI_2\right].\) |
A Faraday-féle indukciótörvény szerint az időben változó mágneses fluxus a tekercsekben menetenként \(\displaystyle U=-\frac{\Delta \Phi}{\Delta t}\) feszültséget indukál. Kirchhoff huroktörvénye szerint a kapcsoló bekapcsolása után:
| \(\displaystyle (5)\) | \(\displaystyle U_0-N_1\frac{\Delta \Phi}{\Delta t}=0,\) |
| \(\displaystyle (6)\) | \(\displaystyle N\frac{\Delta \Phi}{\Delta t}-I_2R=0.\) |
Az (5) egyenlet meghatározza a mágneses fluxus időbeli változását:
\(\displaystyle \Phi(t)=\frac{U_0}{N_1}\cdot t=5~\frac{ \rm mH}{\rm s}\cdot t, \quad \text{ha}\quad t>0, \)
(6) pedig \(\displaystyle I_2\)-t:
\(\displaystyle I_2(t)=\frac{N}{N_1}\frac{U_0}{R}= \text{állandó}, \quad \text{ha}\quad t >0.\)
Ezt (4)-be helyettesítve megkapjuk \(\displaystyle I_1\) időbeli változását, ha \(\displaystyle t>0\):
\(\displaystyle I_1(t)=N\frac{N-N_1}{N_1^2}\,\frac{U_0}{R}+\frac{N^2}{N_1^2} \, \frac{U_0}{L}\,t=0{,}28~{\rm A}+13{,}3~\frac{\rm A}{\rm s}\cdot t.\)
A kérdéses \(\displaystyle t_0=0{,}1~\)s időpillanatban tehát a toroidtekercs két ágában
\(\displaystyle I_1(t_0)=1{,}61~{\rm A}\quad \text{és}\quad I_2(t_0)=50~{\rm mA}\)
erősségű áram folyik. A mágneses fluxus és az áramerősségek időbeli változását a 2. ábra mutatja.
2. ábra
Megjegyzés. A feladatban szereplő összeállítás egy transzformátor, amelynek primér körére – a szokásostól eltérő módon – egyenfeszültséget kapcsoltunk. A mágneses fluxus kezdetben az idővel arányosan növekszik, de egy idő után a tekercs magjának mágnesezettsége ,,telítésbe megy'', \(\displaystyle \mu_\text{rel}\) ekkor már nem tekinthető állandónak. A megoldás során feltételeztük, hogy \(\displaystyle t<t_0\) időknél ez még nem következik be.
\(\displaystyle b)\) Kirchhoff csomóponti törvénye szerint az áramforráson átfolyó áram erőssége \(\displaystyle I_1(t)+I_2\), amelynek átlagos értéke a \(\displaystyle 0<t<t_0\) időintervallumban
\(\displaystyle I_\text{átlag}=\frac{I_1(0)+I_1(t_0)}{2}+I_2=1{,}00~\rm A,\)
az akkumulátor által \(\displaystyle t_0\) idő alatt leadott energia tehát
\(\displaystyle W=I_\text{átlag}U_0\, t_0=0{,}15~\rm J.\)
Az ohmos ellenálláson fejlődő Joule-hő:
\(\displaystyle Q=I_2^2R\,t_0=0{,}05~\rm J.\)
Láthatóan \(\displaystyle W>Q\), a különbségük feltehetően a kialakuló mágneses tér energiájával egyezik meg.
A mágneses mező energiasűrűsége
\(\displaystyle w_\text{mágn.}=\frac{B^2}{2\mu},\)
a tekercs \(\displaystyle A\ell\) térfogatú magjának energiája:
\(\displaystyle W_\text{mágn.}=A\ell w_\text{mágn.}=A\ell \frac{B^2}{2\mu}=\frac{\Phi^2(t_0)\ell}{2\mu A}=\frac{U_0^2}{2L} \left(\frac{N}{N_1}\right)^2 t_0^2=0{,}10~\rm J.\)
A ,,munkatétel'' teljesül:
\(\displaystyle W=Q+ W_\text{mágn.}.\)
Statisztika:
4 dolgozat érkezett. 6 pontot kapott: Bokor Endre. 1 pontot kapott: 1 versenyző. 0 pontot kapott: 2 versenyző.
A KöMaL 2019. novemberi fizika feladatai