 |
A P. 5178. feladat (2019. december) |
P. 5178. Vízszintes talajon lévő, \(\displaystyle m\) tömegű kiskocsira elhanyagolható tömegű, \(\displaystyle \alpha=30^\circ\)-os szögben beállított rugós puskát rögzítettünk, amely egy \(\displaystyle m\) tömegű lövedéket lő ki két esetben. Az első esetben a kocsi rögzített, a második esetben szabadon mozoghat. A lövedék függőleges irányú emelkedési magassága az első esetben \(\displaystyle h_1\), a második esetben \(\displaystyle h_2\). Határozzuk meg a \(\displaystyle h_2/h_1\) arányt!
Közli: Kotek László, Pécs
(5 pont)
A beküldési határidő 2020. január 10-én LEJÁRT.
Megoldás. Jelöljük a lövedék – talajhoz viszonyított – kezdősebességének vízszintes sebességkomponensét \(\displaystyle v_x\)-szel, a függőleges összetevőt \(\displaystyle v_y\)-nal, a rugóban tárolt energiának mechanikai szempontból hasznosítható részét pedig \(\displaystyle E\)-vel.
Az első esetben, amikor a kocsi rögzített, fennállnak a következő összefüggések:
| \(\displaystyle (1)\) | \(\displaystyle \frac{1}{2}m\left(v_x^2+v_y^2\right)=E,\) |
továbbá
| \(\displaystyle (2)\) | \(\displaystyle \frac{v_y}{v_x}=\rm tg\,\alpha=\frac{1}{\sqrt{3}}.\) |
Fejezzük ki \(\displaystyle v_x\)-et a (2) összefüggésből \(\displaystyle v_y\) segítségével, és helyettesítsük azt (1)-be, majd számítsuk ki (ismertnek tekintett \(\displaystyle E\) mellett) a lövedék függőleges irányú kezdősebességét:
\(\displaystyle v_x=\frac{v_y}{\tg\alpha}=\sqrt{3}v_y,\)
\(\displaystyle v_y=\sqrt{\frac{E}{2m}}.\)
A lövedék emelkedési magassága (a ferde hajítás összefüggései szerint):
\(\displaystyle h_1=\frac{v_y^2}{2g}=\frac{E}{4mg}.\)
A második esetben a lövedék kilövése során a kiskocsi \(\displaystyle u\) sebességgel visszalökődik. A vízszintes irányú lendület megmaradási törvénye szerint \(\displaystyle u=v_x\). Az energiamegmaradás törvénye most így írható:
| \(\displaystyle (3)\) | \(\displaystyle \frac{1}{2}m\left(v_x^2+v_y^2\right)+\frac{1}{2}mu^2=E,\) |
továbbá a kilövés irányából adódó kényszerfeltétel:
| \(\displaystyle (4)\) | \(\displaystyle \frac{v_y}{2 v_x}=\rm tg\,\alpha=\frac{1}{\sqrt{3}}.\) |
(Felhasználtuk, hogy a visszalökődő kiskocsihoz viszonyítva a lövedék vízszintes irányú sebessége \(\displaystyle v_x+u=2v_x\).)
Fejezzük ki most is \(\displaystyle v_x\)-et a (4) összefüggésből \(\displaystyle v_y\) segítségével, és helyettesítsük azt (3)-ba, majd számítsuk ki (ismertnek tekintett \(\displaystyle E\) mellett) a lövedék függőleges irányú kezdősebességét:
\(\displaystyle v_x=\frac{v_y}{2\tg\alpha}=\frac{\sqrt{3}}{2}v_y,\)
\(\displaystyle v_y=\sqrt{\frac{4E}{5m}}.\)
A lövedék emelkedési magassága most
\(\displaystyle h_2=\frac{2E}{5mg},\)
és a kérdezett arány:
\(\displaystyle \frac{h_2}{h_1}=\frac{8}{5}=1{,}6.\)
Megjegyzés. Első ránézésre furcsának tűnhet, hogy a lövedék emelkedési magassága a visszalökődő kocsi esetében nagyobb, mint a rögzített puskából kilőtt lövedéké, jóllehet az első esetben a rugóban tárolt energiának még a kocsi mozgási energiáját is fedeznie kell. A látszólagos ellentmondást a kényszerfeltételek különbözősége oldja fel. A visszalökődő kocsinál a lövedék vízszintes irányú sebessége \(\displaystyle v_y\)-hoz viszonyítva kisebb, mint a rögzített kocsinál, így (az emelkedési magasság szempontjából lényegtelen) vízszintes irányú mozgásnak megfelelő energia is kisebb lesz, mint a rögzített puska esetén.
Statisztika:
48 dolgozat érkezett. 5 pontot kapott: Békési Ábel, Bonifert Balázs, Fekete András Albert, Jánosik Áron, Kertész Balázs, Ludányi Levente, Somlán Gellért, Toronyi András, Viczián Anna. 4 pontot kapott: Bokor Endre. 3 pontot kapott: 1 versenyző. 2 pontot kapott: 14 versenyző. 1 pontot kapott: 15 versenyző. 0 pontot kapott: 3 versenyző. Nem versenyszerű: 4 dolgozat. Nem számítjuk a versenybe a születési dátum vagy a szülői nyilatkozat hiánya miatt: 1 dolgozat.
A KöMaL 2019. decemberi fizika feladatai