A P. 5185. feladat (2019. december)

P. 5185. Egy vízszintes lapon mozgó kis korongra a pillanatnyi sebességével arányos fékezőerő hat. Kétféle kísérletet végzünk vele:

\(\displaystyle (i)\) Ha meglökjük \(\displaystyle v_0\) sebességgel, akkor a megállásáig 50 cm utat tesz meg.

\(\displaystyle (ii)\) Amikor a meglökött korong sebessége már \(\displaystyle v_0/2\)-re csökkent, nekiütközik egy másik, álló korongnak, amelyre ugyancsak a sebességével arányos fékezőerő hat. (Az arányossági tényező mindkét korongnál ugyanakkora.) Az ütközés egyenes és rugalmas. Meglepő módon a két korong egymás mellett áll meg.

\(\displaystyle a)\) Mekkora a két korong tömegének aránya?

\(\displaystyle b)\) Az ütközés helyétől milyen messze áll meg a két korong?

A Kvant nyomán

(6 pont)

A beküldési határidő 2020. január 10-én LEJÁRT.

Megoldás. Jelöljük az első kísérletben szereplő korong tömegét \(\displaystyle m\)-mel, a fékezőerő képletében szereplő arányossági tényezőt pedig \(\displaystyle \gamma\)-val. A korong mozgásegyenlete:

\(\displaystyle m\frac{\Delta v}{\Delta t}= -\gamma v=-\gamma \frac{\Delta x}{\Delta t}\)

(ahol \(\displaystyle v\) a pillanatnyi sebességet, \(\displaystyle x\) pedig a pillanatnyi elmozdulást jelöli). Ezek szerint

\(\displaystyle \frac{m\Delta (v)}{\Delta t}+\frac{\gamma \Delta x }{\Delta t}\equiv\frac{\Delta (mv+\gamma x)}{\Delta t}=0,\)

vagyis az \(\displaystyle mv+\gamma x\) kifejezés időben állandó. Az induláskor \(\displaystyle v=v_0\) és \(\displaystyle x=0\), a megálláskor \(\displaystyle v=0\) és \(\displaystyle x=s=50~\rm cm\), tehát

\(\displaystyle mv_0=\gamma s,\qquad \text{vagyis}\qquad \gamma=\frac{mv_0}{s}.\)

Tekintsük most azt az esetet, amikor az \(\displaystyle m\) tömegű, \(\displaystyle v_0/2\) sebességű test rugalmasan ütközik az \(\displaystyle M\) tömegű, álló testtel. Az energia- és a lendületmegmaradás törvényéből következik, hogy a korongok ütközés utáni sebessége (mindegyiket \(\displaystyle v_0/2\) irányában tekintjük pozitívnak):

\(\displaystyle u_m=\frac{m-M}{m+M}\cdot \frac{v_0}{2}, \qquad \text{illetve}\qquad u_M= \frac{2m}{m+M}\cdot \frac{v_0}{2}.\)

Ezeket a ,,kezdősebességeket'' a korongok tömegével súlyozva megkapjuk a megállásukig megtett útjukat:

\(\displaystyle s_m=\frac{m u_m}{\gamma}=\frac{m-M}{m+M}\,\frac{s}{2},\)

valamint

\(\displaystyle s_M=\frac{M u_M}{\gamma}=\frac{2M }{m+M}\,\frac{s}{2}.\)

\(\displaystyle a)\) A két korong akkor áll meg éppen egymás mellett, ha \(\displaystyle s_m=s_M\), ez pedig \(\displaystyle m=3M\) esetén teljesül.

\(\displaystyle b)\) Ha \(\displaystyle m=3M\), akkor

\(\displaystyle s_m=s_M=\frac{s}{4}=12{,}5~\rm cm.\)

Megjegyzések. Belátható, hogy mindkét korong sebessége az idő exponenciális függvénye szerint tart nullához, tehát (ha valóban csak a feladatban szereplő fékezőerő hat rájuk) véges idő alatt sohasem állhatnak meg.

Statisztika:

17 dolgozat érkezett.
6 pontot kapott:	Bokor Endre, Bonifert Balázs, Fülöp Sámuel Sihombing, Ludányi Levente, Nguyễn Đức Anh Quân, Selmi Bálint, Takács Árpád, Tóth Ábel, Varga Vázsony, Viczián Anna.
5 pontot kapott:	Fonyi Máté Sándor, Somlán Gellért, Vass Bence.
4 pontot kapott:	3 versenyző.
1 pontot kapott:	1 versenyző.

A KöMaL 2019. decemberi fizika feladatai