A P. 5187. feladat (2020. január)

P. 5187. Egy \(\displaystyle \ell_1=25~\)cm és egy \(\displaystyle \ell_2=1{,}2\) m hosszú fonálingát azonos magasságban rögzítünk. A lengések síkja párhuzamos, és egymáshoz elég közel van. Az ingákat az egyensúlyi helyzetből azonos nagyságú, kis szöggel, ellentétes irányban kitérítjük, majd elengedjük.

\(\displaystyle a)\) Az induláshoz képest mennyi idő múlva halad el egymás mellett a két fonálinga?

\(\displaystyle b)\) Mennyi idő múlva találkoznak másodszor?

\(\displaystyle c)\) Mekkorára kellene változtatni az ingahosszak arányát, hogy az ötödik találkozás legyen az első olyan, amikor az ingák sebességének iránya azonos?

Közli: Zsigri Ferenc, Budapest

(5 pont)

A beküldési határidő 2020. február 10-én LEJÁRT.

I. megoldás. Kis kitérések esetén a fonálingák szögkitérése:

\(\displaystyle \varphi_1(t)=A \cos(\omega_1t), \qquad \varphi_2(t)=-A \cos(\omega_2t),\)

ahol \(\displaystyle A\ll 1\) a lengések maximális szögkitérése, a körfrekvenciák pedig

\(\displaystyle \omega_1=\sqrt{\frac{g}{\ell_1}}\approx 6{,}26~\frac{1}{\rm s}, \qquad \text{illetve}\qquad \omega_2=\sqrt{\frac{g}{\ell_2}}\approx 2{,}86~\frac{1}{\rm s}.\)

A továbbiak szempontjából lényeges mennyiség a két körfrekvencia aránya:

\(\displaystyle K=\frac{\omega_1}{\omega_2}=\sqrt{\frac{\ell_2}{\ell_1}}=2{,}19. \)

(A fenti képletekben szereplő körfrekvenciák a fonalak rezgőmozgására vonatkoznak, nem keverendők össze a fonalak szögének pillanatnyi változási sebességéhez, vagyis a szögsebességükhöz tartozó körfrekvenciával.)

Amikor a két fonál egymás mellett halad el, teljesül \(\displaystyle \varphi_1(t)=\varphi_2(t),\) vagyis

\(\displaystyle \varphi_2(t)-\varphi_1(t)=A \cos(\omega_2t)+A\cos\left(K\omega_2t\right)\equiv 2A\cos\left(\frac{K+1}{2}\omega_2t\right)\cdot\cos\left(\frac{K-1}{2}\omega_2t\right)=0. \)

A fenti egyenlet megoldásai:

\(\displaystyle \omega_2t\equiv \alpha_n=(2n-1)\frac{\pi}{K+1}, \qquad \text{illetve}\qquad \omega_2t\equiv \beta_n=(2n-1)\frac{\pi}{K-1}, \)

ahol \(\displaystyle n\) pozitív egész szám. \(\displaystyle \alpha_n\) és \(\displaystyle \beta_n\) az első inga (radiánban mért) fázisszöge az ingák találkozásának pillanatában. Esetünkben \(\displaystyle K=2{,}19\), vagyis

\(\displaystyle \alpha_1=0{,}98; \quad\alpha_2=2{,}95; \quad\alpha_3=4{,}92; \ldots,\)

\(\displaystyle \beta_1=2{,}63; \quad\beta_2=7{,}92; \quad\beta_3=13{,}20; \ldots.\)

\(\displaystyle a)\) A találkozások fázisszögeit növekvő sorrendbe rakva leolvashatjuk, hogy az indulástól számított

\(\displaystyle t_1=\frac{\alpha_1}{\omega_2}=0{,}34~\rm s\)

múlva kerül a két fonál fedésbe.

\(\displaystyle b)\) A második találkozás időpontja:

\(\displaystyle t_2=\frac{\beta_1}{\omega_2}=0{,}92~\rm s.\)

\(\displaystyle c)\) Belátjuk, hogy az \(\displaystyle \alpha_i\) szögeknél az ingák ,,szembe haladva'' találkoznak, vagyis a sebességük ellentétes előjelű, a \(\displaystyle \beta_i\) szögeknél pedig ugyanabba az irányba mozognak, sebességük egyforma előjelű.

A lengő testek sebessége:

\(\displaystyle v_1(t)=-A\ell_1\omega_1\sin(\omega_1t), \qquad v_2(t)= A\ell_2\omega_2\sin(\omega_2t).\)

\(\displaystyle (i)\) A sebességek aránya az \(\displaystyle \alpha_n\) fázisszögű találkozásoknál:

\(\displaystyle \frac{v_1}{v_2}=-\frac{\ell_1}{K\ell_2}\, \frac{\sin\alpha_n}{\sin(K\alpha_n)}.\)

Tekintve, hogy \(\displaystyle \alpha_n+K\alpha_n=(2n-1)\pi,\) vagyis \(\displaystyle \sin\alpha_n=\sin(K\alpha_n),\) a sebességek aránya negatív, az ingák szembe mozogva találkoznak.

\(\displaystyle (ii)\) A sebességek aránya a \(\displaystyle \beta_n\) fázisszögű találkozásoknál:

\(\displaystyle \frac{v_1}{v_2}=-\frac{\ell_1}{K\ell_2}\, \frac{\sin\beta_n}{\sin(K\beta_n)}.\)

Tekintve, hogy \(\displaystyle \beta_n-K\beta_n=(2n-1)\pi,\) vagyis \(\displaystyle \sin\beta_n=-\sin(K\beta_n),\) a sebességek aránya pozitív, az ingák azonos irányba mozogva találkoznak.

Annak feltétele, hogy az ötödik találkozás legyen az első azonos irányba haladó::

\(\displaystyle \alpha_4<\beta_1<\alpha_5,\)

vagyis

\(\displaystyle \frac{7\pi}{K+1}<\frac{ \pi}{K-1}<\frac{9\pi}{K+1}.\)

Ebből következik, hogy \(\displaystyle \frac54<K<\frac43\). Amennyiben \(\displaystyle K>1{,}33\), akkor az ötödiknél hamarabb, \(\displaystyle K<1{,}25\) esetén pedig az ötödiknél később következik be az első ,,szembetalálkozás''. Mivel \(\displaystyle \ell_1/\ell_2=K^2\), a fonalak hosszának arányára a

\(\displaystyle \frac{25}{16}<\frac{\ell_1}{\ell_2}<\frac{16}9\)

megszorítást kapjuk.

II. megoldás. Mivel a harmonikus rezgőmozgás felfogható az egyenletes körmozgás vetületeként, a feladat átfogalmazható a következő módon: Egy \(\displaystyle R\) sugarú, kör alakú futópálya egyik átmérőjének két végpontjából elindul egy-egy futó, sebességük \(\displaystyle v\) és \(\displaystyle Kv\). Hol találkoznak, ha ugyanabban az irányban, illetve ha ellentétes irányban járják be a pályát?

Ellentétes körüljárás esetén a találkozás feltétele:

\(\displaystyle vt+Kvt=R\pi +(n-1)2R\pi=(2n-1)R\pi,\qquad (n=1,2,3,\ldots),\)

vagyis

\(\displaystyle \frac{vt}{R}=\alpha_n=(2n-1)\frac{\pi}{K+1}.\)

A futók ilyenkor egymással szembe mozogva találkoznak.

Ha a futók ellentétes irányban indulnak el, akkor a találkozásuk feltétele:

\(\displaystyle Kvt=vt+R\pi +(n-1)2R\pi=vt+(2n-1)R\pi,\qquad (n=1,2,3,\ldots),\)

vagyis

\(\displaystyle \frac{vt}{R}=\beta_n=(2n-1)\frac{\pi}{K-1}.\)

A futók ilyenkor azonos irányban mozogva találkoznak, az egyik ,,lehagyja'' a másikat.

A továbbiakban (az ingák hosszából kiszámítható) \(\displaystyle \frac{v}{R}=\omega_1=6{,}26~\frac{1}{\rm s}\) értéket felhasználva az I. megoldásban ismertetett eredményeket kapjuk.

Statisztika:

29 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:	Békési Ábel, Jánosik Áron, Ludányi Levente, Nguyễn Đức Anh Quân, Rusvai Miklós, Viczián Anna.
4 pontot kapott:	Bokor Endre, Endrész Balázs, Kardkovács Levente, Kertész Balázs, Tóth Ábel, Vass Bence.
3 pontot kapott:	7 versenyző.
2 pontot kapott:	6 versenyző.
1 pontot kapott:	3 versenyző.
0 pontot kapott:	1 versenyző.

A KöMaL 2020. januári fizika feladatai