Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Informatika rovattal
Kiadja a MATFUND Alapítvány
Már regisztráltál?
Új vendég vagy?

A P. 5203. feladat (2020. február)

P. 5203. Egy \(\displaystyle 2A\) széles, átlátszó üveglemezben a lemez síkjára merőleges \(\displaystyle z\) tengely irányában változik a törésmutató, értéke \(\displaystyle z=\pm A\)-nál \(\displaystyle n_0\), míg \(\displaystyle z=0\)-nál \(\displaystyle n_1\). Az üveglemez szélénél (\(\displaystyle z=A\) ,,magasságban'') az \(\displaystyle x\) tengely irányában egy vékony lézersugarat indítunk, amely az üvegben eltérülve egy koszinuszgörbe mentén halad.

\(\displaystyle a)\) Hogyan függ a törésmutató \(\displaystyle z\)-től?

\(\displaystyle b)\) Mekkora a fény pályagörbéjének hullámhossza?

Adatok: \(\displaystyle A=1\) cm, \(\displaystyle n_0=1{,}5\) és \(\displaystyle n_1=1{,}6\).

(Lásd a P. 5066. feladat megoldását a KöMaL 2018. évi decemberi számában.)

Közli: Gnädig Péter, Vácduka

(5 pont)

A beküldési határidő 2020. március 10-én LEJÁRT.


I. megoldás. A fény pályájának egyenletét

\(\displaystyle (1)\)\(\displaystyle z(x)=A\cos(kx)\)

alakban adhatjuk meg, ahol \(\displaystyle k=\frac{2\pi}{\lambda}\) (\(\displaystyle \lambda\) a koszinuszgörbe egyelőre még ismeretlen ,,hullámhossza'').

A Snellius–Descartes-törvény általánosított alakja szerint a rétegenként állandó, de a rétegekre merőleges irányban folytonosan változó törésmutató esetén is érvényes az

\(\displaystyle (2)\)\(\displaystyle n(z)\cdot \cos\varphi=K=\text{állandó}\)

összefüggés, amelyben \(\displaystyle \varphi\) a görbe érintőjének az \(\displaystyle x\) tengellyel bezárt szöge. Ennek a szögnek a tangense a görbe – helyről helyre változó – meredekségével, vagyis az \(\displaystyle n(z)\) függvény deriváltjával egyezik meg. Ez a meredekség (a deriválás szabályaiból, vagy egy analógia, a harmonikus rezgőmozgás ismert út- és sebességfüggvényének vizsgálatából adódóan)

\(\displaystyle \tg\varphi=-Ak\sin(kx), \)

ami (1) szerint így is írható:

\(\displaystyle (3)\)\(\displaystyle \tg\varphi=-k\sqrt{A^2-z^2}.\)

Mivel

\(\displaystyle (4)\)\(\displaystyle \cos\varphi=\frac{1}{\sqrt{1+\tg^2\varphi}},\)

a törési törvény (2) összefüggése (3) és (4) felhasználásával így alakul:

\(\displaystyle n(z)=K\sqrt{1+k^2(A^2-z^2)}.\)

Mivel \(\displaystyle n(x=A)=n_0\) és \(\displaystyle n(x=0)=n_1\), a \(\displaystyle K\) és \(\displaystyle k\) állandókat meghatározhatjuk:

\(\displaystyle K=n_0 \qquad \text{és}\qquad k=\frac{1}{A}\sqrt{\left(\frac{n_1}{n_0}\right)^2-1}.\)

A törésmutató keresett alakja tehát

\(\displaystyle n(z)=\sqrt{n_1^2-(n_1^2-n_0^2)\frac{z^2}{A^2}}=\sqrt{2{,}56-0{,}31\frac{z^2}{(1\,\rm cm)^2}},\)

és a fény pályagörbéjének hullámhossza:

\(\displaystyle \lambda=2\pi\frac{n_0A}{\sqrt{n_1^2-n_0^2}}\approx 17~\rm cm.\)

II. megoldás. A Maupertuis-elv (legkisebb hatás elve) szerint (lásd a P. 5066. feladat megoldását és a Variációs elvek a klasszikus és a kvantumfizikában c. cikket a KöMaL 2018. évi decemberi számában) a helyről helyre változó törésmutató és a fénypálya alakja között ugyanolyan összefüggés van, mint valamilyen erő hatására mozgó tömegpont helyről helyre változó sebességnagysága és a részecske pályagörbéje között.

A feladatban szereplő koszinuszgörbe alakú mozgás a klasszikus mechanikában úgy valósul meg, ha egy test \(\displaystyle z\) tengely irányában harmonikus rezgőmozgást végez, miközben az \(\displaystyle x\) tengely irányában egyenletesen halad:

\(\displaystyle (5)\)\(\displaystyle z(t)=A\cos(\omega t) \qquad\text{és}\qquad x=v_0t.\)

Az időt kiküszöbölve a pályagörbe egyenletéhez jutunk:

\(\displaystyle (6)\)\(\displaystyle z(x)=A\cos\frac{\omega}{v_0}x.\)

Ilyen mozgást egy olyan \(\displaystyle D=m\omega^2\) rugóállandójú rugó képes létrehozni, ami a \(\displaystyle z\) tengely irányában a kitéréssel arányos erőt fejt ki, de az \(\displaystyle x\) tengely mentén szabad mozgást enged meg. Ebben az esetben az energiamegmaradás törvénye így írható fel:

\(\displaystyle \frac12Dz^2+\frac12mv^2=E =\text{állandó},\)

vagyis

\(\displaystyle (7)\)\(\displaystyle v(z)= \sqrt{\frac{2E}{m} -\frac{D}{m}z^2}.\)

(Itt \(\displaystyle v=\vert \boldsymbol v\vert\) a test teljes sebességének nagyságát jelöli.) Mivel \(\displaystyle z=A\) esetben \(\displaystyle v=v_0\), a teljes energia

\(\displaystyle E=\frac12 mv_0^2+\frac12 DA^2,\)

és a test sebességének képlete:

\(\displaystyle (8)\)\(\displaystyle v(z)=\sqrt{v_0^2+\left(A^2-z^2\right)\omega^2}.\)

Az optikai Fermat-elv és a mechanikai Maupertuis-elv közötti hasonlóság alapján mondhatjuk, hogy a koszinusz alakú fénygörbe akkor valósulhat meg, ha a törésmutató a \(\displaystyle z\) koordinátának ugyanolyan függvénye, mint \(\displaystyle v(z)\), attól legfeljebb egy arányossági tényezőben térhet el. (Az arányossági tényező a Fermat-féle minimumelvben nyilván nem játszik szerepet.) Érvényes tehát, hogy

\(\displaystyle (9)\)\(\displaystyle n(z)=\alpha\sqrt{v_0^2+\left(A^2-z^2\right)\omega^2},\)

ahol \(\displaystyle \alpha\) egy tetszőlegesen választható állandó.

Felhasználva a megadott \(\displaystyle n(\pm A)=n_0\) és \(\displaystyle n(0)=n_1\) értékeket, megkapjuk, hogy

\(\displaystyle n_0=\alpha v_0 \qquad \text{és} \qquad n_1=\alpha\sqrt{v_0^2+A^2\omega^2},\)

vagyis

\(\displaystyle v_0=\frac{n_0}{\alpha}, \qquad \text{továbbá} \qquad \omega= \frac{\sqrt{n_1^2-n_0^2}}{\alpha A}.\)

Ezeket visszahelyettesítve (9)-be kapjuk, hogy

\(\displaystyle n(z)=\sqrt{n_1^2-(n_1^2-n_0^2)\frac{z^2}{A^2}},\)

és a fénypálya hullámhossza (6) szerint:

\(\displaystyle \lambda=2\pi \frac{v_0}{\omega}= 2\pi\frac{n_0A}{\sqrt{n_1^2-n_0^2}}.\)


Statisztika:

7 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:Bokor Endre, Ludányi Levente, Selmi Bálint, Tóth Ábel, Varga Vázsony.
4 pontot kapott:Horváth 999 Anikó.
3 pontot kapott:1 versenyző.

A KöMaL 2020. februári fizika feladatai