A P. 5207. feladat (2020. február)

P. 5207. A müon (\(\displaystyle \mu^-\)) bomlékony elemi részecske, átlagos élettartama 2,197 \(\displaystyle \mu\)s, tömege 207 elektrontömeg, töltése megegyezik az elektronéval.

Egy részecskegyorsító tárológyűrűjében a gyűrű síkjára merőleges, homogénnek tekinthető mágneses tér van. A gyűrű egy adott pontjánál érintő irányból monoenergetikus müonnyalábot vezetnek a tárológyűrűbe. A körpályán keringő müonok átlagosan 5 teljes kör megtétele után maguktól elbomlanak.

\(\displaystyle a)\) Mekkora a müonok (átlagos) sebessége és mozgási energiája, ha a tárológyűrű átmérője 120 m?

\(\displaystyle b)\) Mekkora a gyűrűben a mágneses indukció nagysága?

Közli: Fajszi Bulcsú, Budapesti Fazekas M. Gyak. Ált. Isk. és Gimn.

(6 pont)

A beküldési határidő 2020. március 10-én LEJÁRT.

Megoldás. Ha a klasszikus fizika törvényeit használnánk, a részecske sebességére

\(\displaystyle v_\text{klasszikus}=\frac{5\cdot 3{,}14\cdot 120~\rm m}{2{,}2\cdot 10^{-6}~\rm s}=8{,}56\cdot 10^8~\frac{\rm m}{\rm s}\)

értéket kapnánk, ami a vákuumbeli fénysebességnek majdnem háromszorosa! Ezek szerint a relativisztikus összefüggéseket kell alkalmaznunk.

\(\displaystyle a)\) A müon (átlagos) \(\displaystyle t_0\) élettartama abban a koordináta-rendszerben értendő, amelyben a részecske áll (vagy a \(\displaystyle c\) fénysebességhez képest nagyon lassan mozog). A laboratóriumhoz viszonyítva \(\displaystyle v=\beta c\) sebességgel mozgó müon átlagos bomlási ideje

\(\displaystyle t=\frac{t_0}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}\equiv \frac{t_0}{\sqrt{1-\beta^2}}>t_0,\)

ez – az idődilatációnak nevezett – jelenség a speciális relativitáselmélet egyik furcsa, de kísérletileg sokszorosan ellenőrzött következménye.

A bomlás ideje és a megtett út viszonya tehát a relativisztikus képlet alapján:

\(\displaystyle v \frac{t_0}{\sqrt{1-\beta^2}}=5\pi \cdot 2R,\)

azaz a \(\displaystyle \beta=v/c\) hányadossal kifejezve

\(\displaystyle \frac{\beta}{\sqrt{1-\beta^2}}=\frac{10\pi R}{ct_0}=2{,}86 \qquad \Rightarrow \qquad \beta=0{,}94, \qquad v=2{,}8\cdot 10^8\frac{\rm m}{\rm s}.\)

A müonok mozgási energiája (a relativisztikus energiaképlet alapján):

\(\displaystyle E_\text{mozgási}=E_\text{teljes}-E_\text{nyugalmi}=\frac{mc^2}{\sqrt{1-\beta^2}}-mc^2\approx 0{,}2~\rm GeV.\)

\(\displaystyle b)\) A relativisztikus mozgásegyenlet \(\displaystyle B\) indukciójú mágneses térben:

\(\displaystyle \frac{mv}{\sqrt{1-\beta^2}}\cdot \frac{v}{R}=QvB.\)

(A fenti egyenlet bal oldalán megjelenő négyzetgyökös faktor az ú.n. relativisztikus tömegnövekedést, a bal oldali első tört pedig a relativisztikus lendületet írja le. ) A mágneses indukciót kifejezve a

\(\displaystyle B=\frac{10\pi m}{Qt_0}\)

formulát kapjuk. Érdekes, hogy ez a képlet nem tartalmazza a fénysebességet, emiatt megegyezik a nemrelativisztikus (klasszikus) képletekből adódó eredménnyel. (Az idődilatációt és a tömegnövekedést leíró faktorok egymást kiejtik.) Az adatok behelyettesítése után a \(\displaystyle B=0{,}017~\rm T\) eredményt kapjuk.

Statisztika:

30 dolgozat érkezett.
6 pontot kapott:	Békési Ábel, Bokor Endre, Bonifert Balázs, Endrész Balázs, Fiam Regina, Fülöp Sámuel Sihombing, Hamar Dávid, Kertész Balázs, Ludányi Levente, Szabó 314 László, Téglás Panna, Toronyi András, Varga Vázsony, Vass Bence, Viczián Anna.
5 pontot kapott:	Nguyễn Đức Anh Quân, Selmi Bálint, Szoboszlai Szilveszter.
4 pontot kapott:	7 versenyző.
2 pontot kapott:	1 versenyző.
0 pontot kapott:	4 versenyző.

A KöMaL 2020. februári fizika feladatai