Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Informatika rovattal
Kiadja a MATFUND Alapítvány
Már regisztráltál?
Új vendég vagy?

A P. 5222. feladat (2020. április)

P. 5222. Két jó minőségű, tömör gumiból készült labdát az ábrán látható módon egymás tetejére teszünk, majd \(\displaystyle h\) magasságból elengedjük őket. A talajjal, illetve egymással történő ütközésüket közelítőleg a következő módon írhatjuk le: először az alsó, \(\displaystyle M\) tömegű labda ütközik tökéletesen rugalmasan a talajjal, majd ezt követően igen rövid idő múlva a talajról visszapattanó labda tökéletesen rugalmasan ütközik a felső, \(\displaystyle m\) tömegű labdával.

\(\displaystyle a)\) Milyen \(\displaystyle m/M\) tömegarány esetén kapja meg a felső labda a rendszer teljes kezdeti helyzeti energiáját? Milyen magasra pattan a felső labda ebben az esetben?

\(\displaystyle b)\) Milyen \(\displaystyle m/M\) tömegarány esetén pattan fel legmagasabbra a felső labda, és mekkora ez a magasság?

\(\displaystyle c)\) Milyen \(\displaystyle m/M\) tömegarány esetén alkalmazhatjuk az ütközések fenti leírását? Mi történik például a \(\displaystyle k = m/M = 3\) tömegarány esetén?

(Az ütközéseket pillanatszerűnek tekinthetjük. A labdák mérete sokkal kisebb a \(\displaystyle h\) magasságnál.)

Közli: Kis Tamás, Heves

(5 pont)

A beküldési határidő 2020. május 11-én LEJÁRT.


Megoldás. A labdák \(\displaystyle v_0=\sqrt{2gh}\) nagyságú sebességgel érik el a talajt, majd az alsó labda sebességirányt vált. Legyen a felfelé mutató irány pozitív. A két labda tökéletesen rugalmas ütközése alatt (az összenyomódási szakasz végén) a labdák elérnek egy közös \(\displaystyle c=\frac{M-m}{M+m} v_0\) sebességet, majd úgy lökődnek szét, hogy a szétlökődés során a \(\displaystyle \Delta v\) sebességváltozásuk ugyanakkora, mint az összenyomódás közben. Az alsó labda sebességváltozása \(\displaystyle \Delta v_\text{alsó}=c-v_0\), a felső labdáé \(\displaystyle \Delta v_\text{felső}=c-(-v_0 )=c+v_0.\) Az ütközés utáni sebességek tehát így adódnak:

\(\displaystyle v_\text{alsó}=c+(c-v_0 )=2c-v_0=\frac{M-3m}{M+m}\, v_0\)

és

\(\displaystyle v_\text{felső} =c+(c+v_0 )=2c+v_0=\frac{3M-m}{M+m}\, v_0 .\)

\(\displaystyle a)\) A két labda kezdeti helyzeti energiája akkor alakul át teljesen a felső labda energiájává, ha az alsó labda megáll. A fenti képletek alapján ez \(\displaystyle \frac{m}{M}= \frac{1}{3} \) tömegarány esetén valósul meg. Ezt könnyen ellenőrizhetjük, hiszen a kezdeti helyzeti energia \(\displaystyle (m+M)gh=4mgh\), míg a felső labda ütközés utáni mozgási energiája ilyen tömegarány esetén:

\(\displaystyle \frac12mv_\text{felső}^2=\frac12 m \left(\frac{3M-m} {M+m}\, v_0 \right)^2=\frac12 m\left(\frac{2m}{m}\,v_0 \right)^2=2mv_0^2=4mgh. \)

Ebben az esetben a felső labda \(\displaystyle 2v_0\) sebességgel pattan fel, és így \(\displaystyle 4h\) magasságra jut.

\(\displaystyle b)\) A felső labda ütközés utáni sebességét a \(\displaystyle k = m/M\) tömegaránnyal is kifejezhetjük:

\(\displaystyle v_\text{felső}=\frac{ 3M-m}{M+m} v_0=\frac{3-k}{1+k}\, v_0 .\)

Beláthatjuk, hogy a fenti kifejezésben lévő tört (a fizikailag reális \(\displaystyle k>0\) értékeknél) akkor maximális, ha \(\displaystyle k\approx 0\), tehát akkor repül a legmagasabbra a felső labda, ha tömege elhanyagolhatóan kicsi az alsó labda tömegéhez képest. Ebben az esetben a felső labda végsebessége \(\displaystyle 3v_0\), tehát a maximálisan elérhető magasság \(\displaystyle 9h\).

Megjegyzés. Sok sportban történik ütő-labda ütközés. Ha az ütő tömegéhez képest elhanyagolható a labda tömege, akkor az ütő sebességváltozása elhanyagolható, míg merőleges ütés esetén a labdának az ütőhöz viszonyított sebessége előjelet vált. Ha az álló labdát találja el a \(\displaystyle v\) sebességű ütő, akkor az ütőhöz képest \(\displaystyle -v\) sebességű labda sebessége vált előjelet, és a labda a talajhoz képest \(\displaystyle 2v\) sebességgel pattan el. Ha a \(\displaystyle v\) sebességű ütőhöz képest \(\displaystyle -v\) sebességgel közeledik a labda, akkor az ütőhöz képest \(\displaystyle -2v\) sebességű labda sebessége változik az ellentettjére, tehát a talajhoz képest a labda sebessége \(\displaystyle 3v\) lesz.

\(\displaystyle c)\) Szigorúan véve csak akkor alkalmazhatjuk a feladat szövegében leírt ütközési modellt, ha a két labda csak egyszer ütközik. Írjuk fel a labdák ütközés utáni sebességeit:

\(\displaystyle v_\text{alsó}= \frac{M-3m}{M+m}\, v_0= \frac{1-3k}{1+k} \, v_0,\)

\(\displaystyle v_\text{felső}= \frac{3M-m}{M+m}\, v_0=\frac{3-k}{1+k}\, v_0 .\)

Abban az esetben, ha \(\displaystyle k<\tfrac13\) , akkor az ütközés után mindkét labda felfelé repül, a felső gyorsabban, mint az alsó. Ha \(\displaystyle k=\tfrac13\), akkor (ahogy ezt már láttuk fentebb) az alsó labda megáll, a felső viszont felrepül. Ha \(\displaystyle k\) egy kissé nagyobb\(\displaystyle \tfrac13\)-nál, akkor az alsó labda visszapattan, újra ütközik a talajjal, de utána nem éri utol a felső labdát.

Akkor következik be a két labda között a második ütközés is, ha a talajról visszapattanó alsó labda utoléri a felsőt. Ennek a feltétele ez:

\(\displaystyle -\frac{1-3k}{1+k} v_0>\frac{3-k}{1+k}\,v_0,\)

amiből következik, hogy \(\displaystyle k>1\). Ha \(\displaystyle k\) éppen 1, vagyis a két labda tömege megegyezik, akkor az ütközéskor sebességet cserélnek, majd az alsó labda visszapattan a talajról, és a továbbiakban együtt szállnak a magasba, de már nem érintkeznek többet. Tehát a két labda akkor ütközik egyszer, ha \(\displaystyle k\le1\).

Tegyük fel, hogy az ütközési modell még akkor is jó, ha a labdák kétszer is ütköznek, de háromszor már nem. Ilyenkor \(\displaystyle k>1\). Nincs mit tenni, a második ütközés utáni sebességeket is ki kell számolni, mert csak így deríthetjük ki a harmadik ütközés feltételét. Hosszabb számolás után erre juthatunk:

\(\displaystyle v_\text{alsó,2}=\frac{10k-5k^2-1}{(1+k)^2}\, v_0,\)

\(\displaystyle v_\text{felső,2}=\frac{10k-k^2-5}{(1+k)^2} \, v_0 .\)

Eredményünket ellenőrizhetjük például a \(\displaystyle k = m/M = 3\) tömegarány esetében. Ilyenkor az első ütközés után a felső labda megáll, az alsó pedig \(\displaystyle 2v_0\) sebességgel pattan vissza róla, majd a talajról történő visszapattanás után az álló labdát \(\displaystyle 2v_0\) sebességgel találja el. A rugalmas ütközéskor a köztes közös sebesség \(\displaystyle v_0/2\) lesz, tehát a második ütközés után a felső labda \(\displaystyle v_0\) sebességgel indul el felfelé, míg az alsó szintén \(\displaystyle v_0\) sebességgel, de lefelé indul. Lényegében ugyanaz történik, mint a \(\displaystyle k = \tfrac13\) esetben, hiszen ilyenkor is végül a két labda azonos \(\displaystyle v_0\) sebességgel fog felfelé mozogni. Ha behelyettesítünk a fenti képletekbe, akkor megnyugtató módon ugyanezekre a számértékekre jutunk:

\(\displaystyle v_\text{alsó,2}(k=3))= \frac{10k-5k^2-1}{(1+k)^2}\, v_0=-v_0,\)

\(\displaystyle v_\text{felső,2}(k=3))= \frac{10k-k^2-5}{(1+k)^2} \, v_0=v_0.\)

Ezek szerint arra jutottunk, hogy akkor következik be a két labda között harmadik ütközés is, ha \(\displaystyle k>3.\)

Összefoglalva tehát arra jutottunk, hogy \(\displaystyle k\le 1\) esetén a két labda csak egyszer ütközik, \(\displaystyle 1<k\le3\) esetében kétszer ütköznek a labdák, míg \(\displaystyle k>3\) esetén kettőnél többször. Minél többszörös az ütközés, annál kevésbé realisztikus a feladat szövegében leírt ütközési sorozat, mert a labdák középpontjának mozgásiránya el fog térni a függőlegestől.


Statisztika:

A P. 5222. feladat értékelése még nem fejeződött be.


A KöMaL 2020. áprilisi fizika feladatai