Problem P. 5243. (September 2020)
P. 5243. In a sports hall, handball players practice starting by running parallel to the wall of the room to catch a ball thrown against the wall. One of the players runs 3 meters from the wall at a constant speed of 5 m/s. At least at what speed with respect to the hall does he or she have to throw the ball in order to catch it at the height of the throw? Consider the collision of the ball with the wall to be perfectly elastic.
(5 pont)
Deadline expired on October 15, 2020.
Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation
Megoldás. Jelöljük a játékos és a fal távolságát \(\displaystyle d\)-vel, a játékos futási sebességét \(\displaystyle v_1\)-gyel, az eldobott labda kezdősebességének a fal felé mutató komponensét \(\displaystyle v_2\)-vel, a függőleges sebességkomponensét pedig \(\displaystyle v_3\)-mal. A labda sebességének nagysága az eldobáskor
| \(\displaystyle (1)\) | \(\displaystyle v=\sqrt{v_1^2+v_2^2+v_3^2},\) |
ennek a kifejezésnek a legkisebb értékét keressük.
A labda
| \(\displaystyle (2)\) | \(\displaystyle t=\frac{d}{v_2}\) |
idő alatt éri el a falat, és ugyanennyi idő telik el addig, amíg visszajut a játékosig. Ha a labda függőleges irányú sebessége éppen a falnál válik nullává, akkor a fel- és lefelé történő mozgás ideje is ugyanakkora:
| \(\displaystyle (3)\) | \(\displaystyle t=\frac{v_3}{g}.\) |
A (2) és (3) egyenletekből (az idő kiküszöbölése után)
| \(\displaystyle (4)\) | \(\displaystyle v_2v_3=gd=9{,}81~\frac{\rm m}{\rm s^2}\cdot 3~{\rm m}=29{,}4~\frac{\rm m^2}{\rm s^2}\) |
adódik.
Mivel fennáll, hogy
\(\displaystyle {v_2^2+v_3^2}\geq 2 \sqrt{v_2^2\cdot v_3^2} =2gd=58{,}8~\frac{\rm m^2}{\rm s^2},\)
a labda kezdősebessége (1) szerint
\(\displaystyle v=\sqrt{v_1^2+v_2^2+v_3^2}\ge \sqrt{v_1^2+ 2\,v_2 v_3}=\sqrt{25+58{,}8}~\frac{\rm m}{\rm s}\approx 9{,}2~\frac{\rm m}{\rm s}.\)
Megjegyzés. A megoldás során feltételeztük, hogy a labda úgy jut vissza a játékos kezébe, hogy csak a falon pattan egyet, de a földet nem éri el.
Statistics:
58 students sent a solution. 5 points: Barkóczi Zsombor , Barna Benedek, Barta Gergely, Berkesi Tímea, Bonifert Balázs, Csapó Tamás, Dékány Csaba, Dobre Zsombor, Fonyi Máté Sándor, Gárdonyi Soma Ákos, Gurzó József, Horváth 999 Anikó, Jakovác Márton , Jánosik Máté, Juhász Márk Hunor, Kertész Balázs, Koleszár Benedek, Korom Lili, Kozaróczy Csaba, Köpenczei Csanád, Kürti Gergely, Ludányi Levente, Magyar Gábor Balázs, Mihalik Bálint, Mihályi Gábor, Molnár 123 Barnabás, Nemeskéri Dániel, Sallai Péter, Sas 202 Mór, Schäffer Bálint, Sepsi Csombor Márton, Seres-Szabó Márton, Szász Levente, Szoboszlai Szilveszter, Takács Bendegúz, Téglás Panna, Toronyi András, Tóth Ábel, Varga Vázsony, Viczián Máté. 4 points: Lovas Márton, Papp Marcell Miklós, Ruzsa Bence. 3 points: 4 students. 2 points: 4 students. 1 point: 5 students. 0 point: 2 students.
Problems in Physics of KöMaL, September 2020