Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Informatika rovattal
Kiadja a MATFUND Alapítvány
Már regisztráltál?
Új vendég vagy?

A P. 5287. feladat (2021. január)

P. 5287. Van három ellenállásunk, rendre 1 ohm, 2 ohm, 3 ohm értékűek. Mindegyiken a megengedett legnagyobb teljesítmény 1 watt lehet. A három ellenállást minden lehetséges módon összekapcsoljuk úgy, hogy mindig mindegyiken folyhasson áram.

\(\displaystyle a)\) Milyen határok között változhat a legnagyobb megengedett összteljesítmény?

\(\displaystyle b)\) Melyik kapcsolás esetén lehet a legnagyobb összteljesítmény pontosan 2 watt?

Közli: Varga Zsuzsa, Szeged

(4 pont)

A beküldési határidő 2021. február 18-án LEJÁRT.


Megoldás. A három ellenállást nyolcféle módon kapcsolhatjuk össze.

\(\displaystyle (a)\) Mindhárom ellenállást sorosan kapcsoljuk (1.a) ábra). Ekkor a rajtuk átfolyó áram erőssége egyforma, tehát a teljesítményük: \(\displaystyle P_1=I^2\cdot 1~\Omega\), \(\displaystyle P_2=I^2\cdot 2~\Omega\) és \(\displaystyle P_3=I^2\cdot 3~\Omega\). (Az egyes elemekhez tartozó fizikai mennyiségeket az ellenállásuk ohmban mért értékével megegyező indexszel jelöljük.) Látható, hogy a legnagyobb teljesítmény \(\displaystyle P_3\), és az akkor egyezik meg 1 wattal, ha \(\displaystyle I^2=\frac13\). (Az SI mértékegységeket a továbbiakban nem írjuk ki.) Ekkor

\(\displaystyle (a)\text{~eset:} \hskip 2cm P_1=\frac13=0{,}33,\qquad P_2=\frac{2}{3}=0{,}67,\qquad P_3= 1{,}00, \qquad \sum_{i=1}^3 P_i=2{,}0~\rm watt.\)


1. ábra

\(\displaystyle (b)\) A három ellenállást párhuzamosan kapcsoljuk, és valamekkora \(\displaystyle U\) feszültséget kötünk rájuk (1.b) ábra). Mivel a rájuk eső feszültség ugyanakkora, a teljesítmények: \(\displaystyle P_1=U^2,\) \(\displaystyle P_2=U^2/2\) és \(\displaystyle P_3=U^2/3\). Látható, hogy a legnagyobb teljesítmény \(\displaystyle P_1\), és az akkor egyezik meg 1 wattal, ha \(\displaystyle U^2=1\). Ekkor

\(\displaystyle (b)\text{~eset:} \hskip 2cm P_1=1{,}00,\qquad P_2=\frac12=0{,}50,\qquad P_3=\frac13=0{,}33, \qquad \sum_{i=1}^3 P_i=1{,}83~\rm watt.\)

\(\displaystyle (c)\) Kapcsolhatunk két ellenállást sorosan, és a harmadikat velük párhuzamosan. Ezt háromféleképpen tehetjük meg (2.ábra).


2. ábra

Tekintsük először a \(\displaystyle (c_1)\) kapcsolást. Az 1 ohmos ellenálláson \(\displaystyle U\), a másik kettőn \(\displaystyle U/5\) erősségű áram folyik. Ennek megfelelően a teljesítmények:

\(\displaystyle P_1=U^2, \qquad P_2=2\left(\frac{U}{5}\right)^2=\frac{2}{25}U^2, \qquad P_3=\frac{3}{25}U^2.\)

Ezek közül \(\displaystyle P_1\) a legnagyobb, és \(\displaystyle U^2=1\) esetén éppen 1 watt. Ezek szerint

\(\displaystyle (c_1)\text{~eset:} \hskip 2cm P_1=1{,}00,\qquad P_2=\frac2{25}=0{,}08,\qquad P_3 =\frac3{25}=0{,}12,\qquad \sum_{i=1}^3 P_i=1{,}20~\rm watt.\)

Hasonló számítással kapjuk, hogy

\(\displaystyle (c_2)\text{~eset:} \hskip 2cm P_1 =1{,}00,\qquad P_2=\frac18=0{,}125,\qquad P_3= \frac38=0{,}375,\qquad \sum_{i=1}^3 P_i=1{,}5~\rm watt,\)

és végül

\(\displaystyle (c_3)\text{~eset:} \hskip 2cm P_1 =1{,}00,\qquad P_2=\frac13=0{,}33,\qquad P_3= \frac23=0{,}675,\qquad \sum_{i=1}^3 P_i=2{,}0~\rm watt,\)

\(\displaystyle (d)\) Kapcsolhatunk két ellenállást párhuzamosan, és a harmadikat velük sorosan. Ezt is háromféleképpen tehetjük meg (3.ábra).


3. ábra

Tekintsük a \(\displaystyle (d_1)\) kapcsolást. A 2 ohmos és a 3 ohmos ellenállásokon folyó áramok aránya \(\displaystyle 3:2\), ekkor lesz ugyanis a rájuk eső feszültség ugyanakora. Legyen ez a kér áramerősség \(\displaystyle 3I\) és \(\displaystyle 2I\), a harmadik ellenálláson ekkor \(\displaystyle 5I\) erősségű áram folyik. Az egyes teljesítmények:

\(\displaystyle P_1=25\,I^2,\qquad P_2=3\cdot (2I)^2=12\,I^2, \qquad P_3=2\cdot (3I)^2=18\,I^2.\)

Ezek közül \(\displaystyle P_1\) a legnagyobb, és \(\displaystyle I^2=\frac{1}{25}\) esetén egyezik meg 1 wattal. Amegfelelő teljesítmények ekkor:

\(\displaystyle (d_1)\text{~eset:} \hskip 2cm P_1=1{,}00,\qquad P_2=\frac{18}{25}=0{,}72,\qquad P_3 =\frac{12}{25}=0{,}48,\qquad \sum_{i=1}^3 P_i=2{,}2~\rm watt.\)

Hasonló számítással kapjuk, hogy

\(\displaystyle (d_2)\text{~eset:} \hskip 2cm P_1=\frac{9}{32}=0{,}28,\qquad P_2=1{,}00,\qquad P_3 =\frac{3}{32}=0{,}09,\qquad \sum_{i=1}^3 P_i=1{,}37~\rm watt,\)

és

\(\displaystyle (d_3)\text{~eset:} \hskip 2cm P_1=\frac4{27}=0{,}15\qquad P_2=\frac{2}{27}=0{,}07,\qquad P_3 =1{,}00,\qquad \sum_{i=1}^3 P_i=1{,}22~\rm watt.\)

Összefoglalva megállapíthatjuk, hogy három ellenállás megengedett összteljesítménye 1,2 W és 2,2 W között változhat, és két kapcsolásnál is éppen 2 W az értéke.


Statisztika:

A P. 5287. feladat értékelése még nem fejeződött be.


A KöMaL 2021. januári fizika feladatai