Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Informatika rovattal
Kiadja a MATFUND Alapítvány
Már regisztráltál?
Új vendég vagy?

A P. 5418. feladat (2022. szeptember)

P. 5418. Két különböző szögben, de megegyező kezdősebességgel elrúgott labda azonos távolságban ért földet. A magasabb pályán haladó labda kétszer annyi ideig repült, mint a másik. Hogyan aránylik egymáshoz a két pálya csúcsmagassága? Milyen szögek alatt rúgták el a labdát?

Példatári feladat nyomán

(4 pont)

A beküldési határidő 2022. október 17-én LEJÁRT.


Megoldás. A labdák vízszintesen egyenletes mozgást végeznek, függőlegesen pedig \(\displaystyle g\) gyorsulással mozognak, így a \(\displaystyle h\) csúcsmagasság és a mozgás \(\displaystyle T\) ideje közötti kapcsolat:

\(\displaystyle h=\frac{g}{2}\left(\frac{T}{2}\right)^2.\)

Innen látszik, hogy a kétszer hosszabb időtartamú mozgás pályájának csúcsmagassága 4-szer nagyobb.

Jelöljük az elrúgások indulási szögét (a vízszintestől mérve) \(\displaystyle \alpha\)-val és \(\displaystyle \beta\)-val (\(\displaystyle \alpha>\beta\)), a labda kezdősebességét pedig \(\displaystyle v\)-vel. A meredekebben elrúgott labda \(\displaystyle 2T\) ideig, a laposabban elrúgott pedig \(\displaystyle T\) ideig mozog. A labdák sebességének függőleges komponense a mozgás végére egyenletesen, \(\displaystyle g\) gyorsulással az ellentettjére változik, így

\(\displaystyle \frac{v\sin\alpha-(-v\sin\alpha)}{2T}=g, \qquad \text{illetve}\qquad \frac{v\sin\beta-(-v\sin\beta)}{T}=g.\)

Innen következik, hogy

\(\displaystyle (1)\)\(\displaystyle \sin\alpha=2\sin\beta.\)

A labdák vízszintes irányban egyenletesen mozognak és ugyanolyan messzire repülnek:

\(\displaystyle (2T)v\cos\alpha=vT\cos\beta,\)

vagyis

\(\displaystyle (2)\)\(\displaystyle 2\cos\alpha=\cos\beta.\)

Az (1) és (2) egyenlet szorzatából

\(\displaystyle \sin(2\alpha)=\sin(2\beta).\)

Ennek \(\displaystyle \alpha>\beta\) feltétel melletti megoldása:

\(\displaystyle 2\beta=180^\circ-2\alpha,\qquad \text{vagyis}\qquad \alpha+\beta=90^\circ.\)

Ezt (1)-be visszahelyettesítve

\(\displaystyle \tg \alpha=2,\qquad \alpha=63{,}4^\circ,\qquad \beta=26{,}6^\circ\)

eredmény adódik.


Statisztika:

100 dolgozat érkezett.
4 pontot kapott:62 versenyző.
3 pontot kapott:5 versenyző.
2 pontot kapott:12 versenyző.
1 pontot kapott:10 versenyző.
0 pontot kapott:2 versenyző.
Nem versenyszerű:4 dolgozat.

A KöMaL 2022. szeptemberi fizika feladatai