Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Informatika rovattal
Kiadja a MATFUND Alapítvány
Már regisztráltál?
Új vendég vagy?

A P. 5426. feladat (2022. szeptember)

P. 5426. A fotonrakéta olyan elképzelt rakéta, amelynek hajtóműve az üzemanyagot fotonokká alakítja, majd azokat egyirányban, párhuzamosan kilövelli. Egy hosszútávú űrutazás során a rakéta nyugalomból indulva egyenes pályán haladva felgyorsul valamekkora sebességre, majd a hajtóművét az ellenkező irányban üzemeltetve az úticélig fékezve megáll. Ezalatt a rakéta tömege negyedére csökken. Mekkora volt a rakéta maximális sebessége?

(A relativisztikus dinamikáról rövid cikk olvasható a KöMaL honlapján.)

Közli: Vigh Máté, Biatorbágy

(6 pont)

A beküldési határidő 2022. október 17-én LEJÁRT.


I. megoldás. Írjuk le a történteket abban a vonatkoztatási rendszerben, amelyben a rakéta kezdetben (és a megérkezésekor is) áll.

Legyen a rakéta tömege az induláskor \(\displaystyle 4M\), a hajtómű megfordításakor \(\displaystyle M^*\), a megérkezéskor pedig \(\displaystyle M\). Mivel a fékezés során a sebességváltozás ugyanakkora, mint a gyorsítás alatti sebességváltozás, a tömeg relatív csökkenése is ugyanakkora kell hogy legyen:

\(\displaystyle \frac{4M}{M^*}=\frac{M^*}{M}, \qquad \text{vagyis}\qquad M^*=2M.\)

A rakéta impulzusának megváltozása (ami megegyezik a fotonok által elvitt impulzus \(\displaystyle (-1)\)-szeresével) ugyanakkora nagyságú a gyorsítási szakaszban, mint a lassításkor. Ezek szerint a fotonok által elvitt energia is megegyezik a két szakaszban (hiszen a foton energiája arányos az impulzusával), így a rakéta energiaváltozása is ugyanakkora a gyorsítási szakaszban, mint a fékezésnél. Ha a kérdéses időpontban a rakéta energiája \(\displaystyle E^*\), akkor

\(\displaystyle 4Mc^2-E^*=E^*-Mc^2,\qquad \text{vagyis}\qquad E^*=2{,}5\, Mc^2,\)

ahol \(\displaystyle c\) a fénysebesség vákuumban.

Az energia, a nyugalmi tömeg és a sebesség közötti összefüggés szerint

\(\displaystyle E^*=\frac{M^*c^2}{\sqrt{1-v^2/c^2}},\)

azaz

\(\displaystyle 2{,}5 Mc^2=\frac{2M c^2}{\sqrt{1-v^2/c^2}}.\)

Innen kapjuk, hogy

\(\displaystyle \frac{v}{c}=\frac{3}{5}, \qquad v=0{,}6\,c=180\,000~\frac{\rm km}{\rm s}.\)

II. megoldás. Legyen a rakéta energiája a hajtómű megfordításakor \(\displaystyle E^*\), az impulzusa pedig \(\displaystyle p^*\). (Ezek a mennyiségek abban a koordináta-rendszerben értendők, amelyből nézve a rakéta kezdetben állt.)

Alkalmazzuk az energia- és az impulzusmegmaradás (relativisztikus) törvényeit. A fotonok által elvitt impulzus nagysága mindkét szakaszban \(\displaystyle p^*\), az elvitt energia pedig \(\displaystyle p^*c\). A megmaradási törvények szerint

\(\displaystyle 4Mc^2-E^*=E^*-Mc^2,\qquad \text{vagyis}\qquad E^*=\frac52\, Mc^2,\)

továbbá

\(\displaystyle 4Mc^2-\frac52\, Mc^2= p^*c,\qquad \text{tehát}\qquad p^*=\frac32 Mc.\)

Az energia, az impulzus és a sebesség közötti relativisztikus kapcsolat:

\(\displaystyle p^*=\frac{E^*}{c^2}v, \qquad \text{ahonnan}\qquad v=\frac{p^*c^2}{E^*}=\frac{\frac{3}{2}Mc}{\frac{5}{2}M}=\frac{3}{5}c.\)


Statisztika:

22 dolgozat érkezett.
6 pontot kapott:Bencz Benedek, Kollmann Áron Alfréd, Lincoln Liu, Nemeskéri Dániel.
5 pontot kapott:Papp Marcell Imre, Schmercz Blanka.
4 pontot kapott:2 versenyző.
3 pontot kapott:3 versenyző.
2 pontot kapott:2 versenyző.
1 pontot kapott:4 versenyző.
0 pontot kapott:1 versenyző.
Nem versenyszerű:2 dolgozat.

A KöMaL 2022. szeptemberi fizika feladatai